1. que gire um vetor de R^3 em 45^circ em torno do eixo x , e depois projete o vetor obtido no plano xy .

Passo 1

O enunciado pede a composição de duas transformações lineares em R^3: primeiro uma rotação de 45^circ em torno do eixo x, e em seguida a projeção ortogonal no plano xy. Para resolver, vamos (i) escrever a matriz da rotação em torno de x, (ii) escrever a matriz da projeção no plano xy, e (iii) compor ambas as matrizes.

Passo 2

A rotação em torno do eixo x de ângulo theta=45^circ deixa a coordenada x inalterada e faz
ymapsto ycostheta - zsintheta, zmapsto ysintheta + zcostheta
Como cos45^circ=sin45^circ=tfracraiz22, a matriz dessa rotação é
Rx(45^circ) = 1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 0 & tfracraiz22 & tfracraiz22

Passo 3

A projeção ortogonal no plano xy zera a coordenada z e mantém x e y. Sua matriz é
Pxy = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

Para obter a matriz da transformação composta (primeiro Rx, depois Pxy), basta multiplicar Pxy por Rx(45^circ):
Pxy,Rx(45^circ) = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 0 & tfracraiz22 & tfracraiz22 = 1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 0 & 0 & 0

Resposta

A matriz que primeiro rotaciona em 45^circ em torno de x e depois projeta no plano xy é
1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados