Uma determinada pessoa possui 3 chaves em seu bolso. Como acabou a luz e está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a chave para abrir a porta.
a) Defina o espaço amostral desse experimento.
b) Defina a variável aleatória
número de chaves testadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?
c) Encontre a função de probabilidade para v.a. X.
d) Qual é número médio de tentativas que a pessoa deve realizar para abrir a porta?
a) Defina o espaço amostral desse experimento.
b) Defina a variável aleatória
c) Encontre a função de probabilidade para v.a. X.
d) Qual é número médio de tentativas que a pessoa deve realizar para abrir a porta?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
- Informação: Uma pessoa tem
chaves no bolso; uma e só uma delas abre a porta. Está escuro, então ela testa as chaves uma a uma, sem ver, até encontrar a chave correta. Ao testar uma chave que não é a correta, ela não a repete (testa sem reposição). - Perguntas:
a) Definir o espaço amostral do experimento (ou seja, os possíveis resultados elementares).
b) Definir a variável aleatórianúmero de chaves testadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Perguntam: quais são os valores possíveis de ?
c) Encontrar a função de probabilidade (pmf) da v.a.: isto é, calcular para cada valor .
d) Calcular o número médio de tentativas (esperança matemática).
Passo 2
Explicando bem o experimento elemento a elemento (para construir o espaço amostral): rotule as chaves como
. Um resultado elementar é a sequência ordenada das chaves testadas até o momento em que a chave correta é encontrada; a sequência termina no momento em que aparece a chave correta (logo o último elemento da sequência é a chave correta) e todas as chaves anteriores são chaves erradas distintas (sem reposição). Assim, os comprimentos possíveis de uma sequência são
.
Vou escrever explicitamente todas as sequências possíveis (cada sequência diz quais chaves foram testadas, na ordem, até achar a correta):
Breve interpretação: por exemplo
significa que a pessoa testou
primeiro (e deu errado) e depois testou
que abriu a porta.
Passo 3
Agora definimos a variável aleatória
no contexto desses resultados: para cada sequência em
,
é o comprimento da sequência (o número de chaves testadas até achar a correta). Então os valores possíveis de
são precisamente
Explicação intuitiva: se a primeira chave testada for a correta,
; se a primeira for errada e a segunda correta,
; se as duas primeiras forem erradas e a terceira correta,
.
Passo 4
Agora vamos calcular as probabilidades
. Primeiro explico a hipótese natural do problema (implicita): a pessoa não consegue distinguir as chaves pelo toque e escolhe aleatoriamente uma ordem para testá-las, ou equivalentemente, a ordem em que as chaves são testadas é uma permutação aleatória e todas as permutações são igualmente prováveis. Essa é a hipótese que usamos para calcular as probabilidades.
Cálculo direto:
-
: a probabilidade de a primeira chave testada ser a correta. Como há chave correta entre e o primeiro teste é igualmente provável para cada chave, temos
-
: acontece quando a primeira chave é errada e a segunda é a correta. Podemos usar probabilidade condicional: probabilidade de primeiro teste ser errado é ; dado que a primeira foi errada, restam chaves e uma é correta, então a probabilidade de acertar na segunda é . Portanto
-
: ou calculamos diretamente como probabilidade de falhar nos dois primeiros e acertar no terceiro, ou usamos que as probabilidades devem somar . Fazendo direto: falhar no primeiro e no segundo tem probabilidade e então o terceiro será necessariamente a correta (probabilidade condicionalmente), logo
Verificação rápida:
, ok.
Comentário didático (intuição/simetria): pela simetria, a posição (1ª, 2ª ou 3ª) em que a chave correta aparece na ordem aleatória é igualmente provável, então cada
.
Passo 5
Escrevendo a função de probabilidade (pmf) de forma compacta: para
,
E
para qualquer outro
.
Explicação do que é pmf: a função de probabilidade de uma variável discreta dá, para cada valor possível
, a probabilidade
. Aqui todos os valores possíveis têm probabilidade igual.
Passo 6
Agora calculamos o número médio de tentativas, isto é, a esperança matemática
. A definição que usamos: para v.a. discreta
com valores
e probabilidades
,
Aplicando com
e
:
Interpretação: em média, a pessoa deve testar
chaves até abrir a porta.
Observação alternativa (fórmula de simetria para posição esperada): de forma geral, se um item correto está uniformemente distribuído entre
, a média da posição é
. Aqui
e
, mesma resposta.
Resposta
a)
b)
c)
para
(e
caso contrário)
d)