Uma determinada pessoa possui 3 chaves em seu bolso. Como acabou a luz e está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a chave para abrir a porta.
a) Defina o espaço amostral desse experimento.
b) Defina a variável aleatória \mathrm{X}= número de chaves testadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?
c) Encontre a função de probabilidade para v.a. X.
d) Qual é número médio de tentativas que a pessoa deve realizar para abrir a porta?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Informação: Uma pessoa tem 3 chaves no bolso; uma e só uma delas abre a porta. Está escuro, então ela testa as chaves uma a uma, sem ver, até encontrar a chave correta. Ao testar uma chave que não é a correta, ela não a repete (testa sem reposição).
  • Perguntas:
    a) Definir o espaço amostral do experimento (ou seja, os possíveis resultados elementares).
    b) Definir a variável aleatória \mathrm{X}= número de chaves testadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Perguntam: quais são os valores possíveis de \mathrm{X}?
    c) Encontrar a função de probabilidade (pmf) da v.a. \mathrm{X}: isto é, calcular P(\mathrm{X}=x) para cada valor x.
    d) Calcular o número médio de tentativas (esperança matemática) E[\mathrm{X}].

Passo 2

Explicando bem o experimento elemento a elemento (para construir o espaço amostral): rotule as chaves como k_1,k_2,k_3. Um resultado elementar é a sequência ordenada das chaves testadas até o momento em que a chave correta é encontrada; a sequência termina no momento em que aparece a chave correta (logo o último elemento da sequência é a chave correta) e todas as chaves anteriores são chaves erradas distintas (sem reposição). Assim, os comprimentos possíveis de uma sequência são 1,2,3.
Vou escrever explicitamente todas as sequências possíveis (cada sequência diz quais chaves foram testadas, na ordem, até achar a correta):
\Omega=\{ (k_1),\,(k_2),\,(k_3),\; (k_1,k_2),\,(k_1,k_3),\,(k_2,k_1),\,(k_2,k_3),\,(k_3,k_1),\,(k_3,k_2),\; (k_1,k_2,k_3),\,(k_1,k_3,k_2),\,(k_2,k_1,k_3),\,(k_2,k_3,k_1),\,(k_3,k_1,k_2),\,(k_3,k_2,k_1) \}.
Breve interpretação: por exemplo (k_2,k_1) significa que a pessoa testou k_2 primeiro (e deu errado) e depois testou k_1 que abriu a porta.

Passo 3

Agora definimos a variável aleatória \mathrm{X} no contexto desses resultados: para cada sequência em \Omega, \mathrm{X} é o comprimento da sequência (o número de chaves testadas até achar a correta). Então os valores possíveis de \mathrm{X} são precisamente
\mathrm{X}\in\{1,2,3\}.
Explicação intuitiva: se a primeira chave testada for a correta, \mathrm{X}=1; se a primeira for errada e a segunda correta, \mathrm{X}=2; se as duas primeiras forem erradas e a terceira correta, \mathrm{X}=3.

Passo 4

Agora vamos calcular as probabilidades P(\mathrm{X}=1),P(\mathrm{X}=2),P(\mathrm{X}=3). Primeiro explico a hipótese natural do problema (implicita): a pessoa não consegue distinguir as chaves pelo toque e escolhe aleatoriamente uma ordem para testá-las, ou equivalentemente, a ordem em que as chaves são testadas é uma permutação aleatória e todas as permutações são igualmente prováveis. Essa é a hipótese que usamos para calcular as probabilidades.
Cálculo direto:
  • P(\mathrm{X}=1): a probabilidade de a primeira chave testada ser a correta. Como há 1 chave correta entre 3 e o primeiro teste é igualmente provável para cada chave, temos
P(\mathrm{X}=1)=\frac{1}{3}.
  • P(\mathrm{X}=2): acontece quando a primeira chave é errada e a segunda é a correta. Podemos usar probabilidade condicional: probabilidade de primeiro teste ser errado é \dfrac{2}{3}; dado que a primeira foi errada, restam 2 chaves e uma é correta, então a probabilidade de acertar na segunda é \dfrac{1}{2}. Portanto
P(\mathrm{X}=2)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
  • P(\mathrm{X}=3): ou calculamos diretamente como probabilidade de falhar nos dois primeiros e acertar no terceiro, ou usamos que as probabilidades devem somar 1. Fazendo direto: falhar no primeiro e no segundo tem probabilidade \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} e então o terceiro será necessariamente a correta (probabilidade 1 condicionalmente), logo
P(\mathrm{X}=3)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Verificação rápida: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1, ok.
Comentário didático (intuição/simetria): pela simetria, a posição (1ª, 2ª ou 3ª) em que a chave correta aparece na ordem aleatória é igualmente provável, então cada P(\mathrm{X}=k)=1/3.

Passo 5

Escrevendo a função de probabilidade (pmf) de forma compacta: para \mathrm{X}\in\{1,2,3\},
P(\mathrm{X}=x)=\frac{1}{3},\qquad x=1,2,3.
E P(\mathrm{X}=x)=0 para qualquer outro x.
Explicação do que é pmf: a função de probabilidade de uma variável discreta dá, para cada valor possível x, a probabilidade P(\mathrm{X}=x). Aqui todos os valores possíveis têm probabilidade igual.

Passo 6

Agora calculamos o número médio de tentativas, isto é, a esperança matemática E[\mathrm{X}]. A definição que usamos: para v.a. discreta \mathrm{X} com valores x_i e probabilidades p_i,
E[\mathrm{X}]=\sum_i x_i\,p_i.
Aplicando com x\in\{1,2,3\} e p_x=1/3:
E[\mathrm{X}]=1\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2.
Interpretação: em média, a pessoa deve testar 2 chaves até abrir a porta.
Observação alternativa (fórmula de simetria para posição esperada): de forma geral, se um item correto está uniformemente distribuído entre 1,\dots,n, a média da posição é (n+1)/2. Aqui n=3 e (3+1)/2=2, mesma resposta.

Resposta

a) \displaystyle \Omega=\{(k_1),(k_2),(k_3),(k_1,k_2),(k_1,k_3),(k_2,k_1),(k_2,k_3),(k_3,k_1),(k_3,k_2),(k_1,k_2,k_3),(k_1,k_3,k_2),(k_2,k_1,k_3),(k_2,k_3,k_1),(k_3,k_1,k_2),(k_3,k_2,k_1)\}
b) \displaystyle \mathrm{X}\in\{1,2,3\}
c) \displaystyle P(\mathrm{X}=x)=\frac{1}{3} para x=1,2,3 (e P(\mathrm{X}=x)=0 caso contrário)
d) \displaystyle E[\mathrm{X}]=2

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