Considere a curva
r(t)=12 t i+13(1-t)^3 / 2 j+13(1+t)^3 / 2 k,
com t in[-1,1].
(a) (1,00 ponto) Calcule o comprimento da curva no intervalo fornecido.
(b) (0,75 ponto) Encontre a equação paramétrica da reta tangente à curva no ponto t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
r(t)=tfrac12,t,i+tfrac13(1-t)^3/2,j+tfrac13(1+t)^3/2,k, tin[-1,1],
e pede:
(a) o comprimento da curva no intervalo dado, usando a fórmula de comprimento de arco
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt,
e (b) a reta tangente no ponto t=0, que se obtém por
ell(s)=r(0)+s,r'(0)

Passo 2

Vamos derivar r(t) coordenada a coordenada.
Para x(t)=tfrac12,t temos
x'(t)=tfrac12
Para y(t)=tfrac13(1-t)^3/2 usamos a regra da cadeia:
y'(t)=tfrac13cdottfrac32(1-t)^1/2cdot(-1) =-tfrac12,(1-t)^1/2
Para z(t)=tfrac13(1+t)^3/2 de modo análogo:
z'(t)=tfrac13cdottfrac32(1+t)^1/2cdot(1) =tfrac12,(1+t)^1/2
Logo
r'(t) =l(tfrac12,,-tfrac12(1-t)^1/2,,tfrac12(1+t)^1/2r)

Passo 3

Calculamos o quadrado da norma:
l|r'(t)r|^2 =l(tfrac12r)^2 +l(-tfrac12(1-t)^1/2r)^2 +l(tfrac12(1+t)^1/2r)^2 =tfrac14+tfrac14(1-t)+tfrac14(1+t)
Como (1-t)+(1+t)=2, ficamos com
l|r'(t)r|^2 =tfrac14+tfrac14cdot2 =tfrac34,
ou seja
l|r'(t)r|=raiz32,
constante em t.

Passo 4

O comprimento de arco é
L=integral-1^1l|r'(t)r|,dt =integral-1^1raiz32,dt =raiz32l[tr]-1^1 =raiz32,(1-(-1)) =raiz3

Passo 5

No ponto t=0 temos
r(0) =l(,0,;tfrac13,;tfrac13r), r'(0) =l(tfrac12,,-tfrac12,;tfrac12r)

Passo 6

A reta tangente pode ser escrita como
ell(s)=r(0)+s,r'(0) =l(0,tfrac13,tfrac13r) +sl(tfrac12,-tfrac12,tfrac12r)
Em coordenadas paramétricas, com parâmetro s,
x(s)=tfrac12,s, y(s)=tfrac13-tfrac12,s, z(s)=tfrac13+tfrac12,s

Resposta

(a) L=raiz3.
(b) Reta tangente em t=0:
ell(s)=l(0,tfrac13,tfrac13r)+sl(tfrac12,-tfrac12,tfrac12r),
ou seja
x(s)=tfrac12s, y(s)=tfrac13-tfrac12s, z(s)=tfrac13+tfrac12s

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