Construir os gráficos das funções que se indicam abaixo, determinando o campo de existência de cada função, os pontos de descontinuidade, os pontos extremos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão de seus gráficos, a direção da concavidade e da assíntota dos gráficos:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
determinando domínio, descontinuidades, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de termos dominantes.
Passo 2
Campo de existência e descontinuidade
A função é um polinômio dividido por , logo definida em todo
. Não há pontos de descontinuidade.
A função é um polinômio dividido por
Passo 3
Derivada primeira e pontos críticos
Anulando
obtém-se os pontos críticos
Passo 4
Classificação de extremos com a segunda derivada
Em
:
Em
:
E
Passo 5
Monotonicidade
O sinal de
O sinal de
é dado por
. Fazendo a análise de sinais em torno de
, conclui-se:
crescente em e em
,
decrescente em e em
.
crescente em
decrescente em
Passo 6
Pontos de inflexão e concavidade
Pontos de inflexão onde :
Pontos de inflexão onde
Valores:
Concavidade:
para
(côncavo para cima) e
para
(côncavo para baixo).
Passo 7
Assíntotas
Como é um polinômio de grau dividido por constante, não há assíntotas horizontais nem oblíquas. Para
,
.
Como é um polinômio de grau
Resposta
Domínio:
.
Pontos de descontinuidade: nenhum.
Extremos: mínimo local em ; máximos locais em
.
Crescimento: em e
.
Decréscimo: em e
.
Pontos de inflexão: .
Concavidade: côncavo para cima em ; côncavo para baixo em
e
.
Assíntotas: nenhuma.
Pontos de descontinuidade: nenhum.
Extremos: mínimo local em
Crescimento: em
Decréscimo: em
Pontos de inflexão:
Concavidade: côncavo para cima em
Assíntotas: nenhuma.