Construir os gráficos das funções que se indicam abaixo, determinando o campo de existência de cada função, os pontos de descontinuidade, os pontos extremos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão de seus gráficos, a direção da concavidade e da assíntota dos gráficos:
y=6 x^2-x^49.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y=6x^2-x^49,
determinando domínio, descontinuidades, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de termos dominantes.

Passo 2

Campo de existência e descontinuidade
A função é um polinômio dividido por 9, logo definida em todo R. Não há pontos de descontinuidade.

Passo 3

Derivada primeira e pontos críticos
y'=19ddxl(6x^2-x^4r) =12x-4x^39 =4x,(3-x^2)9
Anulando y'=0 obtém-se os pontos críticos
x=0, x=pmraiz3

Passo 4

Classificação de extremos com a segunda derivada
y''=ddxl(tfrac4x(3-x^2)9r) =4(1-x^2)3
Em x=0:
y''(0)=43>0Rightarrowmínimo local em (0,y(0))=(0,0) í
Em x=pmraiz3:
y''(pmraiz3)=4(1-3)3=-83<0 Rightarrowmáximos locais em l(pmraiz3,y(pmraiz3)r) á
E
y(pmraiz3)=6cdot3-(raiz3)^49=18-99=1

Passo 5

Monotonicidade
O sinal de
y'=49x(3-x^2)
é dado por x(3-x^2). Fazendo a análise de sinais em torno de -raiz3,0,raiz3, conclui-se:
crescente em (-infty,-raiz3) e em (0,raiz3),
decrescente em (-raiz3,0) e em (raiz3,infty).

Passo 6

Pontos de inflexão e concavidade
Pontos de inflexão onde y''=0:
1-x^2=0Rightarrow x=pm1
Valores:
y(pm1)=6cdot1-1^49=59
Concavidade:
,y''>0 para |x|<1 (côncavo para cima) e
,y''<0 para |x|>1 (côncavo para baixo).

Passo 7

Assíntotas
Como é um polinômio de grau 4 dividido por constante, não há assíntotas horizontais nem oblíquas. Para xtopminfty, yto -infty.

Resposta

Domínio: R.
Pontos de descontinuidade: nenhum.
Extremos: mínimo local em (0,0); máximos locais em l(pmraiz3,1r).
Crescimento: em (-infty,-raiz3) e (0,raiz3).
Decréscimo: em (-raiz3,0) e (raiz3,infty).
Pontos de inflexão: l(pm1,tfrac59r).
Concavidade: côncavo para cima em (-1,1); côncavo para baixo em (-infty,-1) e (1,infty).
Assíntotas: nenhuma.

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