Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
(1-x^2) d yd x-x^2 y=(1+x) raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa encontrar a solução geral. A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os componentes da equação, encontrar um fator integrante e então chegar na solução. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
(1 - x^2) dydx - x^2 y = (1 + x) raiz1 - x^2
Nosso objetivo é colocar essa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Para isso, vamos dividir os dois lados da equação original por (1 - x^2):
dydx - x^21 - x^2 y = (1 + x) raiz1 - x^21 - x^2
Agora, identificamos que:
  • P(x) = -x^21 - x^2
  • Q(x) = (1 + x)raiz1 - x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante da equação, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
integral P(x) dx = integral -x^21 - x^2 dx
Vamos simplificar a fração:
-x^21 - x^2 = -x^2 - 1 + 11 - x^2 = -( x^2 - 11 - x^2 ) - 11 - x^2 = 1 - 11 - x^2
Então:
integral P(x) dx = integral (1 - 11 - x^2 ) dx = integral 1 dx - integral 11 - x^2 dx = x - 12 ln | 1 + x1 - x | + C
Desconsiderando a constante de integração para o fator integrante, temos:
mu(x) = e^x - 12 ln | 1 + x1 - x | = e^x ( 1 - x1 + x )^1/2

Passo 4

Com o fator integrante mu(x), podemos multiplicar toda a equação diferencial por ele:
mu(x) dydx + mu(x) P(x) y = mu(x) Q(x)
Isso transforma a equação em:
ddx ( mu(x) y ) = mu(x) Q(x)
Então, para encontrar y, a gente integra os dois lados:
mu(x) y = integral mu(x) Q(x) dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos calcular a integral à direita:
integral mu(x) Q(x) dx = integral e^x ( 1 - x1 + x )^1/2 cdot 1 + xraiz1 - x^2 dx
Simplificando os termos:
= integral e^x ( 1 - x1 + x )^1/2 cdot 1 + xraiz1 - x^2 dx = integral e^x (1 + x)^1 - 1/2 (1 - x)^1/2raiz1 - x^2 dx
Simplificando mais:
= integral e^x cdot (1 - x)^1/2 cdot (1 + x)^1/2 cdot 1raiz1 - x^2 dx = integral e^x dx
A integral de e^x é simples:
integral e^x dx = e^x + C

Passo 6

Agora, voltando à equação onde integrámos:
mu(x) y = e^x + C
Para encontrar y, dividimos ambos os lados por mu(x):
y = e^x + Ce^x ( 1 - x1 + x )^1/2 = ( 1 + x1 - x )^1/2 ( 1 + C e^-x )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz1 + x1 - x ( 1 + C e^-x )

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