(a) ponto) Determine a equação do plano que passa pelos pontos e ;
(b) ponto) Encontre a equação paramétrica da reta que é paralela ao vetor normal do plano e passa pelo ponto ;
(c) ponto) Encontre o ponto que é a interseção da reta encontrada na letra (b) com o plano encontrado na letra (a);
(d) (0,75 ponto) Calcule a distância entre os pontos e . O que isso significa?
Passo 1
O enunciado pede: (a) a equação do plano que passa por , e ; (b) a equação paramétrica da reta paralela ao vetor normal desse plano passando por ; (c) o ponto de interseção dessa reta com o plano; (d) a distância e sua interpretação. Vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal do plano, depois as fórmulas de plano, reta e distância ponto-plano em .
Passo 2
Definimos os vetores
O vetor normal do plano é dado pelo produto vetorial , logo
Passo 3
A equação de um plano com normal passando por é
Tomando e , obtemos
que, ao expandir e reorganizar, resulta em
Passo 4
A reta que passa por e é paralela a tem equação paramétrica
Passo 5
Para achar a interseção com o plano x - 4y - z + 4 = 0, substituímos x,y,z da reta:
(3 - t) - 4(3 + 4t) - (3 + t) + 4 = 0
-18t - 8 = 0 Longrightarrow t = -tfrac49
Substituindo em (3 - t,,3 + 4t,,3 + t) obtemos
El(tfrac319,,tfrac119,,tfrac239r)
Passo 6
O vetor DE = E - D = -tfrac49,(-1,4,1) tem comprimento
Geometricamente, esse valor é a distância do ponto D ao plano, pois a reta é perpendicular ao plano.
Resposta
(a) x - 4y - z + 4 = 0
(b) ;x = 3 - t, y = 3 + 4t, z = 3 + t
(c) El(tfrac319,,tfrac119,,tfrac239r)
(d) DE = tfrac43raiz2 É a distância do ponto D ao plano.