(a) (1,00 ponto) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(2,1,2), B(1,1,1) e C(-1,0,3);
(b) (0,75 ponto) Encontre a equação paramétrica da reta que é paralela ao vetor normal do plano e passa pelo ponto D(3,3,3);
(c) (0,75 ponto) Encontre o ponto E(x0, y0, z0) que é a interseção da reta encontrada na letra (b) com o plano encontrado na letra (a);
(d) (0,75 ponto) Calcule a distância entre os pontos D e E. O que isso significa?

Passo 1

O enunciado pede: (a) a equação do plano que passa por A(2,1,2), B(1,1,1) e C(-1,0,3); (b) a equação paramétrica da reta paralela ao vetor normal desse plano passando por D(3,3,3); (c) o ponto de interseção E dessa reta com o plano; (d) a distância DE e sua interpretação. Vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal do plano, depois as fórmulas de plano, reta e distância ponto-plano em R^3.

Passo 2

Definimos os vetores
AB = B - A = l(1 - 2,,1 - 1,,1 - 2r) = l(-1,,0,,-1r),
AC = C - A = l(-1 - 2,,0 - 1,,3 - 2r) = l(-3,,-1,,1r)
O vetor normal n do plano é dado pelo produto vetorial ABtimesAC, logo
n = AB times AC = (-1,,0,,-1)times(-3,,-1,,1) = (-1,,4,,1)

Passo 3

A equação de um plano com normal n=(a,b,c) passando por (x0,y0,z0) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Tomando (x0,y0,z0)=A(2,1,2) e n=(-1,4,1), obtemos
-1(x-2) + 4(y-1) + 1(z-2) = 0
que, ao expandir e reorganizar, resulta em
x - 4y - z + 4 = 0

Passo 4

A reta que passa por D(3,3,3) e é paralela a n=(-1,4,1) tem equação paramétrica
x = 3 - t, y = 3 + 4t, z = 3 + t

Passo 5

Para achar a interseção com o plano x - 4y - z + 4 = 0, substituímos x,y,z da reta:
(3 - t) - 4(3 + 4t) - (3 + t) + 4 = 0
-18t - 8 = 0 Longrightarrow t = -tfrac49
Substituindo em (3 - t,,3 + 4t,,3 + t) obtemos
El(tfrac319,,tfrac119,,tfrac239r)

Passo 6

O vetor DE = E - D = -tfrac49,(-1,4,1) tem comprimento
DE = l|tfrac49r|;|n| = tfrac49raiz(-1)^2 + 4^2 + 1^2 = tfrac49raiz18 = tfrac43raiz2
Geometricamente, esse valor é a distância do ponto D ao plano, pois a reta é perpendicular ao plano.

Resposta

(a) x - 4y - z + 4 = 0
(b) ;x = 3 - t, y = 3 + 4t, z = 3 + t
(c) El(tfrac319,,tfrac119,,tfrac239r)
(d) DE = tfrac43raiz2 É a distância do ponto D ao plano.

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