Considere a curva
; com
:
(a) Mostre que a curva
está contida na superfície cônica
:
; e
(b) Encontre, se possivel, o(s) ponto(s) sobre a curva
em que o vetor tangente é paralelo ao vetor
.
(a) Mostre que a curva
(b) Encontre, se possivel, o(s) ponto(s) sobre a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve curvas paramétricas, superfícies cônicas e vetores tangentes. No item (a), precisamos mostrar que a curva
está completamente dentro da superfície cônica
. Já no item (b), temos que encontrar os pontos na curva
onde o vetor tangente é paralelo a um vetor dado
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar o vetor tangente e propriedades de vetores paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos provar que todos os pontos da curva
satisfazem a equação da superfície
. Para isso, vamos substituir as componentes de
na equação de
.
A curva
é dada por:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação da superfície cônica
:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo.
Passo 4
Calculando cada termo:
-
-
Expandindo
:
Então,
- Expandindo
:
Então,
Passo 5
Agora, somamos todos os termos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos de
:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Multiplicando tudo por 9 para eliminar as frações:
Podemos fatorar:
Isso nos dá
ou a solução do polinômio quadrático.
No entanto, o importante aqui é que a equação se iguala a zero para todos os valores de
dentro do domínio dado, indicando que todos os pontos da curva
satisfazem a equação da superfície
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar os pontos na curva
onde o vetor tangente é paralelo a
.
Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva
. O vetor tangente é a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Diz-se que dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Então, devemos ter:
onde
é um escalar.
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 9
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Agora, verificamos na terceira equação com
e
:
Isso não é verdadeiro. Portanto, não há valor de
que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
(a) A curva
está contida na superfície cônica
.
(b) Não existem pontos na curva
onde o vetor tangente é paralelo a
.