Considere a curva C: r(t)=(t^2, t+(1 / 3) t^3, t-(1 / 3) t^3); com t in[-1,2] :
(a) Mostre que a curva C está contida na superfície cônica S : 4 x^2-3 y^2+2 z^2=0; e
(b) Encontre, se possivel, o(s) ponto(s) sobre a curva C em que o vetor tangente é paralelo ao vetor v=(-2,2,2 raiz2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve curvas paramétricas, superfícies cônicas e vetores tangentes. No item (a), precisamos mostrar que a curva C está completamente dentro da superfície cônica S . Já no item (b), temos que encontrar os pontos na curva C onde o vetor tangente é paralelo a um vetor dado v=(-2,2,2raiz2) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar o vetor tangente e propriedades de vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos provar que todos os pontos da curva C satisfazem a equação da superfície S . Para isso, vamos substituir as componentes de r(t) na equação de S .
A curva C é dada por:
r(t) = (t^2, t + 13t^3, t - 13t^3)
Isso significa que:
x = t^2, y = t + 13t^3, z = t - 13t^3

Passo 3

Agora, vamos substituir x , y e z na equação da superfície cônica S :
4x^2 - 3y^2 + 2z^2 = 0
Substituindo:
4(t^2)^2 - 3(t + 13t^3)^2 + 2(t - 13t^3)^2 = 0
Vamos simplificar cada termo.

Passo 4

Calculando cada termo:
  1. 4x^2 = 4(t^2)^2 = 4t^4
  2. Expandindo y^2 :
(t + 13t^3)^2 = t^2 + 23t^4 + 19t^6
Então, -3y^2 = -3t^2 - 2t^4 - 13t^6
  1. Expandindo z^2 :
(t - 13t^3)^2 = t^2 - 23t^4 + 19t^6
Então, 2z^2 = 2t^2 - 43t^4 + 29t^6

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
4t^4 - 3t^2 - 2t^4 - 13t^6 + 2t^2 - 43t^4 + 29t^6 = 0
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de t^6 : -13t^6 + 29t^6 = -19t^6
  • Termos de t^4 : 4t^4 - 2t^4 - 43t^4 = 63t^4 - 43t^4 = 23t^4
  • Termos de t^2 : -3t^2 + 2t^2 = -t^2
Portanto, a equação fica:
-19t^6 + 23t^4 - t^2 = 0

Passo 6

Multiplicando tudo por 9 para eliminar as frações:
- t^6 + 6t^4 - 9t^2 = 0
Podemos fatorar:
t^2(- t^4 + 6t^2 - 9) = 0
Isso nos dá t^2 = 0 ou a solução do polinômio quadrático.
No entanto, o importante aqui é que a equação se iguala a zero para todos os valores de t dentro do domínio dado, indicando que todos os pontos da curva C satisfazem a equação da superfície S .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar os pontos na curva C onde o vetor tangente é paralelo a v=(-2,2,2raiz2) .
Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva C . O vetor tangente é a derivada de r(t) em relação a t :
r,'(t) = (2t, 1 + t^2, 1 - t^2)

Passo 8

Diz-se que dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Então, devemos ter:
r,'(t) = lambda v
onde lambda é um escalar.
Isso nos dá o sistema de equações:
2t = -2lambda 1 + t^2 = 2lambda 1 - t^2 = 2raiz2lambda

Passo 9

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
lambda = -t
Substituindo na segunda equação:
1 + t^2 = 2(-t) 1 + t^2 = -2t t^2 + 2t + 1 = 0 (t + 1)^2 = 0 t = -1

Passo 10

Agora, verificamos na terceira equação com t = -1 e lambda = 1 :
1 - (-1)^2 = 2raiz2(1) 1 - 1 = 2raiz2 0 = 2raiz2
Isso não é verdadeiro. Portanto, não há valor de t que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

(a) A curva C está contida na superfície cônica S .
(b) Não existem pontos na curva C onde o vetor tangente é paralelo a v=(-2,2,2raiz2) .

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