Determine a expressão do operador linear
, sabendo que, para todo
, o segmento de reta que liga
a
é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta
. Qual é a imagem do eixo vertical pelo operador
?
Passo 1
O enunciado pede determinar a expressão do operador linear
tal que, para todo
, o segmento de reta de
a
é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta
. Em seguida, queremos achar a imagem do eixo vertical (eixo
) por
. Usaremos ideias de operadores lineares e condições geométricas para obter as coordenadas de
.
Passo 2
Como o segmento de reta de
a
é horizontal, as suas ordenadas coincidem. Logo,
Passo 3
O ponto médio de
e de
é
Como esse ponto médio está sobre a reta
, temos
Passo 4
Com isso, para todo
vale
Em forma matricial,
Passo 5
O eixo vertical é o conjunto de vetores
. Assim,
Isso descreve a reta
que em coordenadas cartesianas é a reta
.
Resposta
A imagem do eixo vertical é a reta
.