Determine a expressão do operador linear A: R^2 R^2, sabendo que, para todo v=(x, y), o segmento de reta que liga v a A v=(x^prime, y^prime) é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta y=x. Qual é a imagem do eixo vertical pelo operador A ?

Passo 1

O enunciado pede determinar a expressão do operador linear A:R^2toR^2 tal que, para todo v=(x,y), o segmento de reta de v a Av=(x',y') é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta y=x. Em seguida, queremos achar a imagem do eixo vertical (eixo Oy) por A. Usaremos ideias de operadores lineares e condições geométricas para obter as coordenadas de Av.

Passo 2

Como o segmento de reta de v a Av é horizontal, as suas ordenadas coincidem. Logo,
y' = y

Passo 3

O ponto médio de v=(x,y) e de Av=(x',y) é
l(tfracx+x'2,,tfracy+y'2r) = l(tfracx+x'2,,yr)
Como esse ponto médio está sobre a reta y=x, temos
y = x+x'2 Longrightarrow x' = 2y - x

Passo 4

Com isso, para todo (x,y)inR^2 vale
A(x,y) = l(2y - x,;yr)
Em forma matricial,
A = -1 & 2[6pt]0 & 1 ]

Passo 5

O eixo vertical é o conjunto de vetores (0,y). Assim,
A(0,y) = l(2y,;yr)
Isso descreve a reta
l(2y,y)mid yinRr,
que em coordenadas cartesianas é a reta y=tfrac12x.

Resposta

A(x,y) = (2y - x,,y)
A imagem do eixo vertical é a reta y=tfrac12x.

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