Dados os vetores u1=(2,-1), u2=(1,1), u3=(-1,-4), v1= (1,3), v2=(2,3) e v3=(-5,-6), decida se existe ou não um operador linear A: R^2 R^2 tal que A u1=v1, A u2=v2 e A u3=v3. Mesma pergunta com nu3=(5,-6) e com nu3=(5,6).

Passo 1

Resumindo: temos vetores em R^2
u1=(2,-1), u2=(1,1), u3=(-1,-4)
e queremos um operador linear AcolonR^2toR^2 tal que
A(ui)=vi, i=1,2,3
Teoria principal: em espaço de dimensão 2, três vetores são linearmente dependentes. Um operador linear existe com essas imagens se, e somente se, toda relação de dependência entre os ui também vale para os vi.

Passo 2

Achar relação
Da primeira . Logo . Tomando obtemos

Passo 3

Condição para existência de A: a mesma combinação deve anular os vi,
v1 -3v2 -v3 =0
Se isso falhar, não há A linear que envie uimapsto vi.

Passo 4

Caso v3=(-5,-6). Calculamos
v1 -3v2 -v3 =(1,3)-3(2,3)-(-5,-6) =(1,3)-(6,9)+(5,6) =(0,0)
A condição vale, logo existe A.

Passo 5

Caso nu3=(5,-6). Calculamos
v1 -3v2 -nu3 =(1,3)-(6,9)-(5,-6) =(1-6-5,;3-9+6) =(-10,0)neq(0,0)
Falha a condição, não existe A.

Passo 6

Caso nu3=(5,6). Calculamos
v1 -3v2 -nu3 =(1,3)-(6,9)-(5,6) =(1-6-5,;3-9-6) =(-10,-12)neq(0,0)
Também falha, não existe A.

Resposta

Para v3=(-5,-6): existe operador linear A.
Para nu3=(5,-6): não existe.
Para nu3=(5,6): não existe.

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