Se u e v são vetores linearmente independentes, demonstrar que existe um número real lambda, e um só, tal que o vetor h=(1-lambda) u+lambda v seja ortogonal a v-u.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um número real lambda tal que o vetor
vec h=(1-lambda),vec u + lambda,vec v
seja ortogonal ao vetor vec v-vec u. O conteúdo principal que vamos usar é produto escalar e condição de ortogonalidade.

Passo 2

Reescrevemos vec h de forma mais conveniente:

Passo 3

vec h = (1-lambda),vec u + lambda,vec v = vec u + lambda, (vec v-vec u)
Como vec u e vec v são linearmente independentes, segue que vec v-vec uneqvec 0.

Passo 4

Impondo ortogonalidade entre vec h e vec v-vec u temos
vec hcdot(vec v-vec u)=0
Substituindo a expressão de vec h:
l(vec u + lambda(vec v-vec u)r)cdot(vec v-vec u)=0
Que expande para:
vec ucdot(vec v-vec u) + lambda,|vec v-vec u|^2 = 0

Passo 5

Resolvendo essa equação para lambda:
lambda = -vec ucdot(vec v-vec u)|vec v-vec u|^2
Como |vec v-vec u|^2>0, concluímos que existe exatamente uma solução real para lambda.

Resposta

lambda = -dfracvec ucdot(vec v-vec u)|vec v-vec u|^2.

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