Considere a curva
definida por
. Para
calcule a velocidade, as acelerações tangencial e normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet.
Passo 1
O enunciado pede para a curva
dada por
. Em
queremos: velocidade vetorial, componentes tangencial e normal da aceleração, curvatura
, torção
e o triedro de Frenet
. Vamos usar derivadas de
e as fórmulas padrão de curvatura e torção.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas sucessivas de
:
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Velocidade vetorial em
é
. O módulo (velocidade escalar) é
Passo 5
Para a aceleração definimos
. O vetor tangente unitário é
A componente tangencial da aceleração é
A componente normal (magnitude) é
Passo 6
A curvatura é dada por
Calculamos
Passo 7
A torção é
Então
Passo 8
Por fim o triedro de Frenet em
:
Como
, a aceleração é totalmente normal e
Resposta
Velocidade em t=1: vetor
, módulo
.
Aceleração tangencial , aceleração normal (magnitude)
.
Curvatura .
Torção .
Triedro de Frenet em t=1:
Aceleração tangencial
Curvatura
Torção
Triedro de Frenet em t=1: