Considere a curva alpha:] 0,2] R^3 definida por alpha(t)=(log t, t, t log t). Para t=1 calcule a velocidade, as acelerações tangencial e normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet.

Passo 1

O enunciado pede para a curva alpha:(0,2]to R^3 dada por alpha(t)=(ln t,,t,,tln t). Em t=1 queremos: velocidade vetorial, componentes tangencial e normal da aceleração, curvatura kappa, torção tau e o triedro de Frenet (T,N,B). Vamos usar derivadas de alpha e as fórmulas padrão de curvatura e torção.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas sucessivas de alpha:
alpha'(t)=l(tfrac1t,,1,,ln t+1r),
alpha''(t)=l(-tfrac1t^2,,0,,tfrac1tr),
alpha'''(t)=l(2,t^-3,,0,,-t^-2r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
alpha'(1)=(1,1,1),
alpha''(1)=(-1,0,1),
alpha'''(1)=(2,0,-1)

Passo 4

Velocidade vetorial em t=1 é v=alpha'(1)=(1,1,1). O módulo (velocidade escalar) é
|v|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3

Passo 5

Para a aceleração definimos a=alpha''(1)=(-1,0,1). O vetor tangente unitário é
T=v|v|=(1,1,1)raiz3
A componente tangencial da aceleração é
aT=lang<= a,Trang<==-1+0+1raiz3=0
A componente normal (magnitude) é
aN=raiz|a|^2-aT^2=raiz(-1)^2+0^2+1^2=raiz2

Passo 6

A curvatura é dada por
kappa=|alpha'timesalpha''||alpha'|^3
Calculamos
alpha'(1)timesalpha''(1)=(1,1,1)times(-1,0,1)=(1,-2,1),
|alpha'timesalpha''|=raiz1^2+(-2)^2+1^2=raiz6,
kappa=raiz6(raiz3)^3=raiz63raiz3=raiz23

Passo 7

A torção é
tau=(alpha'timesalpha'')cdotalpha'''|alpha'timesalpha''|^2
Então
(alpha'timesalpha'')cdotalpha'''=(1,-2,1)cdot(2,0,-1)=2-1=1,
tau=1(raiz6)^2=16

Passo 8

Por fim o triedro de Frenet em t=1:
T=(1,1,1)raiz3,
Como aT=0, a aceleração é totalmente normal e
N=a|a|=(-1,0,1)raiz2,
B=Ttimes N=(1,1,1)raiz3times(-1,0,1)raiz2=(1,-2,1)raiz6

Resposta

Velocidade em t=1: vetor alpha'(1)=(1,1,1), módulo |v|=raiz3.
Aceleração tangencial aT=0, aceleração normal (magnitude) aN=raiz2.
Curvatura kappa=tfracraiz23.
Torção tau=tfrac16.
Triedro de Frenet em t=1:
T=tfrac(1,1,1)raiz3, N=tfrac(-1,0,1)raiz2, B=tfrac(1,-2,1)raiz6

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