\sum_{z=1}^{\infty} \frac{z!3^{z}}{z^{z}} CONUERGE?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{z=1}^{\infty} \frac{z!\,3^{z}}{z^{z}}.
O conteúdo é teste de convergência para séries de termos positivos; vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{z\to\infty}\sqrt[z]{\frac{z!\,3^{z}}{z^{z}}} \;=\;\lim_{z\to\infty}\bigl(z!\bigr)^{1/z}\;\frac{3}{z}.
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge.

Passo 3

Para estimar \bigl(z!\bigr)^{1/z} usamos a fórmula de Stirling:
z! \sim z^{z}e^{-z}\sqrt{2\pi z} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(z!\bigr)^{1/z}\sim \frac{z}{e}\,(2\pi z)^{1/(2z)}.
Como (2\pi z)^{1/(2z)}\to1, temos \bigl(z!\bigr)^{1/z}\sim z/e.

Passo 4

Substituindo em L:
L =\lim_{z\to\infty}\frac{z/e\;\cdot3}{z} =\frac{3}{e}\approx1,103>1.
Como L>1, o teste da raiz diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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