Considere a curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como \alpha(t)=\left(t^{3}+t, 0,0\right). Estude sua regularidade e seu traço.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\bigl(t^3+t,\,0,\,0\bigr).
O que nos pedem:
  • Estudar a regularidade da curva (ou seja: verificar se \alpha'(t) é o vetor nulo para algum t\in I ou não).
  • Estudar o traço (imagem) da curva, isto é \alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}, e interpretar geometricamente (onde a curva fica em \mathbb{R}^3, se é segmento, todo eixo, se há autointerseções etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função coordenada no eixo x é f(t)=t^3+t.
  • As coordenadas y e z são sempre 0.
  • O intervalo de parametrização é um intervalo arbitrário I\subset\mathbb{R} (pode ser \mathbb{R} ou outro).

Passo 2

Definição e cálculo da derivada (para estudar regularidade).
Definição usada: uma curva \alpha é regular em t se \alpha'(t)\neq(0,0,0). Se \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t\in I, diz-se que \alpha é regular em I.
Calculemos a derivada coordenada a coordenada:
\alpha'(t)=\bigl((t^3+t)'\,,\,0'\,,\,0'\bigr)=\bigl(3t^2+1,\,0,\,0\bigr).
Agora analisamos se esse vetor pode ser o vetor zero. Note que para todo t\in\mathbb{R} vale
3t^2+1\ge 1>0,
portanto \,3t^2+1\neq 0 para todo t. Conclusão imediata: \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t\in I. Logo, \alpha é regular em todo I.
Comentário didático curto: a componente tangente está só na direção do eixo x e nunca se anula — a curva nunca “para” nem muda sinal do vetor tangente.

Passo 3

Injetividade e monotonicidade da coordenada x (para entender o traço e autointerseções).
Considere f(t)=t^3+t. Calculamos a derivada de f:
f'(t)=3t^2+1>0\quad\text{para todo }t.
Uma função diferenciável com derivada estritamente positiva é estritamente crescente. Portanto f é estritamente crescente e, consequentemente, injetiva em qualquer intervalo I. Isso implica que \alpha é injetiva em I (porque as coordenadas y e z são constantes nulas, duas imagens iguais exigiriam t iguais pela injetividade de f). Em termos geométricos, não há autointerseções: a curva não se cruza a si mesma.
Além disso, por ser contínua e estritamente crescente, f envia intervalos em intervalos (a imagem f(I) é um intervalo). Se I=\mathbb{R}, como \lim_{t\to+\infty}(t^3+t)=+\infty e \lim_{t\to-\infty}(t^3+t)=-\infty, temos f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. Portanto, para I=\mathbb{R} a imagem de f é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Descrição do traço e interpretação geométrica.
Por definição,
\alpha(I)=\{(t^3+t,\,0,\,0):t\in I\}.
Chamando f(I) a imagem do intervalo I pela função f(t)=t^3+t, tem-se
\alpha(I)=\{(x,0,0):x\in f(I)\}.
Isto mostra claramente que o traço de \alpha é um subconjunto do eixo x em \mathbb{R}^3: é exatamente o conjunto de pontos do eixo x cujas abscissas são os valores t^3+t com t\in I.
Casos particulares e conclusão geométrica:
  • Se I=\mathbb{R}, então f(I)=\mathbb{R} e assim \alpha(\mathbb{R})=\{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\}, ou seja, o traço é todo o eixo x.
  • Se I for um intervalo qualquer (por exemplo [a,b], (a,b), etc.), então f(I) é um intervalo (por ser f contínua e monotona) e \alpha(I) é o segmento (ou arco) correspondente no eixo x entre (f(\inf I),0,0) e (f(\sup I),0,0) (com abertos/fechados conforme I).
Observação sobre o vetor tangente unitário: o comprimento de \alpha'(t) é |\alpha'(t)|=3t^2+1, logo o vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}=\bigl(1,0,0\bigr),
constante. Isso confirma que a direção do movimento é sempre a mesma (para o sentido positivo do eixo x) — a parametrização é uma reparametrização monótona do eixo x.

Passo 5

Resumo prático e como usar isso na prova (dica amigo-estudante).
  • Para verificar regularidade: calcule \alpha'(t) coordenada a coordenada e veja se todas as componentes se anulam simultaneamente. Aqui só há uma componente não nula 3t^2+1, que é sempre positiva — então é regular sempre. Mentalmente: “a curva anda ao longo do eixo x e nunca para”.
  • Para o traço: escreva a imagem explicitamente \alpha(I)=\{(t^3+t,0,0)\}. Note que estudar a função escalar f(t)=t^3+t resolve se a imagem é todo eixo ou só parte dele (verifique limites e monotonicidade). Se a derivada de f for sempre positiva, f é injetora e sua imagem de \mathbb{R} é \mathbb{R}.

Resposta

A curva é regular em todo I (pois \alpha'(t)=(3t^2+1,0,0)\neq(0,0,0) para todo t\in I).
O traço é \alpha(I)=\{(t^3+t,0,0):t\in I\}=\{(x,0,0):x\in f(I)\} com f(t)=t^3+t; em particular, se I=\mathbb{R} então \alpha(\mathbb{R})=\{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\} (todo o eixo x).

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