Considere a curva
definida como
. Estude sua regularidade e seu traço.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
O que nos pedem:
- Estudar a regularidade da curva (ou seja: verificar se
é o vetor nulo para algum ou não). - Estudar o traço (imagem) da curva, isto é
, e interpretar geometricamente (onde a curva fica em , se é segmento, todo eixo, se há autointerseções etc.).
Informações relevantes fornecidas:
- A função coordenada no eixo
é . - As coordenadas
e são sempre . - O intervalo de parametrização é um intervalo arbitrário
(pode ser ou outro).
Passo 2
Definição e cálculo da derivada (para estudar regularidade).
Definição usada: uma curva
é regular em
se
. Se
para todo
, diz-se que
é regular em
.
Calculemos a derivada coordenada a coordenada:
Agora analisamos se esse vetor pode ser o vetor zero. Note que para todo
vale
portanto
para todo
. Conclusão imediata:
para todo
. Logo,
é regular em todo
.
Comentário didático curto: a componente tangente está só na direção do eixo
e nunca se anula — a curva nunca “para” nem muda sinal do vetor tangente.
Passo 3
Injetividade e monotonicidade da coordenada
(para entender o traço e autointerseções).
Considere
. Calculamos a derivada de
:
Uma função diferenciável com derivada estritamente positiva é estritamente crescente. Portanto
é estritamente crescente e, consequentemente, injetiva em qualquer intervalo
. Isso implica que
é injetiva em
(porque as coordenadas
e
são constantes nulas, duas imagens iguais exigiriam
iguais pela injetividade de
). Em termos geométricos, não há autointerseções: a curva não se cruza a si mesma.
Além disso, por ser contínua e estritamente crescente,
envia intervalos em intervalos (a imagem
é um intervalo). Se
, como
e
, temos
. Portanto, para
a imagem de
é todo
.
Passo 4
Descrição do traço e interpretação geométrica.
Por definição,
Chamando
a imagem do intervalo
pela função
, tem-se
Isto mostra claramente que o traço de
é um subconjunto do eixo
em
: é exatamente o conjunto de pontos do eixo
cujas abscissas são os valores
com
.
Casos particulares e conclusão geométrica:
- Se
, então e assim , ou seja, o traço é todo o eixo . - Se
for um intervalo qualquer (por exemplo , , etc.), então é um intervalo (por ser contínua e monotona) e é o segmento (ou arco) correspondente no eixo entre e (com abertos/fechados conforme ).
Observação sobre o vetor tangente unitário: o comprimento de
é
, logo o vetor tangente unitário é
constante. Isso confirma que a direção do movimento é sempre a mesma (para o sentido positivo do eixo
) — a parametrização é uma reparametrização monótona do eixo
.
Passo 5
Resumo prático e como usar isso na prova (dica amigo-estudante).
- Para verificar regularidade: calcule
coordenada a coordenada e veja se todas as componentes se anulam simultaneamente. Aqui só há uma componente não nula , que é sempre positiva — então é regular sempre. Mentalmente: “a curva anda ao longo do eixo x e nunca para”. - Para o traço: escreva a imagem explicitamente
. Note que estudar a função escalar resolve se a imagem é todo eixo ou só parte dele (verifique limites e monotonicidade). Se a derivada de for sempre positiva, é injetora e sua imagem de é .
Resposta
A curva é regular em todo
(pois
para todo
).
O traço é com
; em particular, se
então
(todo o eixo
).
O traço é