EXEMPLO 11 Esboce as curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
para os valores constantes
. O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível (ou nível de contorno), que para cada
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Começamos impondo a condição de nível:
Elevando ao quadrado obtemos
Passo 3
Para que haja solução real em
, precisamos de
, ou seja
. Como
, consideramos
. Para cada caso, a curva é um círculo de raio
Especificamente:
Passo 4
Cada nível
gera o círculo
ou seja, são círculos concêntricos de centro na origem. Para
o “círculo” degenera em um ponto único
. Em um esboço no plano
teríamos:
– para : círculo de raio
,
– para : círculo de raio
,
– para : círculo de raio
,
– para : ponto na origem.
– para
– para
– para
– para
Resposta
As curvas de nível são: