EXEMPLO 11 Esboce as curvas de nível da função
g(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \quad \text { para } \quad k=0,1,2,3

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
g(x,y)=\sqrt{9 - x^2 - y^2}
para os valores constantes k=0,1,2,3. O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível (ou nível de contorno), que para cada k é o conjunto de pontos (x,y) tais que g(x,y)=k.

Passo 2

Começamos impondo a condição de nível:
g(x,y)=k \;\Longrightarrow\; \sqrt{9 - x^2 - y^2}=k.
Elevando ao quadrado obtemos
9 - x^2 - y^2 = k^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = 9 - k^2.

Passo 3

Para que haja solução real em (x,y), precisamos de 9 - k^2 \ge 0, ou seja |k|\le3. Como g\ge0, consideramos k=0,1,2,3. Para cada caso, a curva é um círculo de raio
r_k = \sqrt{9 - k^2}\,.
Especificamente:
r_0 = \sqrt{9 - 0^2} = 3, \quad r_1 = \sqrt{9 - 1^2} = \sqrt{8}=2\sqrt2,
r_2 = \sqrt{9 - 2^2} = \sqrt{5}, \quad r_3 = \sqrt{9 - 3^2} = 0.

Passo 4

Cada nível k gera o círculo
x^2 + y^2 = (r_k)^2,
ou seja, são círculos concêntricos de centro na origem. Para k=3 o “círculo” degenera em um ponto único (0,0). Em um esboço no plano (x,y) teríamos:
– para k=0: círculo de raio 3,
– para k=1: círculo de raio 2\sqrt2\approx2,83,
– para k=2: círculo de raio \sqrt5\approx2,24,
– para k=3: ponto na origem.

Resposta

As curvas de nível são:
\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, & k=0,\\[6pt] x^2 + y^2 = 8, & k=1,\\[6pt] x^2 + y^2 = 5, & k=2,\\[6pt] \{(0,0)\}, & k=3. \end{cases}]

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