Considere a curva C definida por:
r(t)=(-c+cos (a t), b t, c+sen(a t)) ; t >= 0 obtenha: h(s), u(s), p(s), b(s), k(s) e T(s).

Passo 1

A questão pede as características da curva no referencial de Frenet: o vetor tangente unitário vec h(s)=dvec rds, o vetor de curvatura vec p(s)=d^2vec rds^2, o vetor normal unitário vec u(s)=vec p(s)|vec p(s)|, o binormal vec b(s)=vec h(s)timesvec u(s), a curvatura escalar k(s)=|vec p(s)| e a torção T(s)=-dvec bdscdotvec u(s). Vamos precisar parametrizar por comprimento de arco, calcular derivadas e aplicar as fórmulas de Frenet.

Passo 2

Primeiro calculamos a rapidez e a relação entre t e s. Temos
vec r'(t)=(-asin(at),,b,,acos(at))
e
|vec r'(t)|=raiza^2sin^2(at)+b^2+a^2cos^2(at)=raiza^2+b^2=v(constante)
Assim o comprimento de arco é s=v,t e t=s/v.

Passo 3

O vetor tangente unitário é
vec h(s)=dvec rds=1vvec r'(t)=1raiza^2+b^2l(-asinphi,;b,;acosphir),
onde definimos phi=a,t=a,s/raiza^2+b^2.

Passo 4

A segunda derivada em relação a s nos dá o vetor de curvatura:
vec p(s)=dvec hds=1raiza^2+b^2ddsl(-asinphi,,b,,acosphir)=l(-tfraca^2a^2+b^2cosphi,;0,;-tfraca^2a^2+b^2sinphir)

Passo 5

A curvatura escalar é a norma de vec p(s):
k(s)=|vec p(s)|=a^2a^2+b^2,
O vetor normal unitário é
vec u(s)=vec p(s)k(s)=(-cosphi,;0,;-sinphi)

Passo 6

O binormal da curva fica
vec b(s)=vec h(s)timesvec u(s)=l(-tfracbraiza^2+b^2sinphi,;-tfracaraiza^2+b^2,;tfracbraiza^2+b^2cosphir)

Passo 7

Para a torção usamos T(s)=-dvec bdscdotvec u(s). Derivando vec b(s) e projetando em -vec u) encontramos
T(s)=-aba^2+b^2,

Resposta

vec h(s)=1raiza^2+b^2l(-asin(tfraca sraiza^2+b^2),,b,,acos(tfraca sraiza^2+b^2)r)
vec p(s)=l(-tfraca^2a^2+b^2cos(tfraca sraiza^2+b^2),;0,;-tfraca^2a^2+b^2sin(tfraca sraiza^2+b^2)r)
vec u(s)=(-cos(tfraca sraiza^2+b^2),;0,;-sin(tfraca sraiza^2+b^2))
vec b(s)=l(-tfracbraiza^2+b^2sin(tfraca sraiza^2+b^2),;-tfracaraiza^2+b^2,;tfracbraiza^2+b^2cos(tfraca sraiza^2+b^2)r)
k(s)=a^2a^2+b^2, T(s)=-aba^2+b^2

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