Exercício 10. Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
(i) não possui solução,
(ii) tem uma única solução e
(iii) admite infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sistema linear
(a+1)x + a y - z = -1, (a+1)y + z = 1, (a+1)x + (3a+2)y + z = -1 - b
e determinar para quais valores de a e b:
  1. não existe solução;
  2. existe solução única;
  3. existem infinitas soluções.
    Aqui vamos usar noções de determinante e posto de matrizes e estudar a consistência via substituição.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = a+1 & a & -1 0 & a+1 & 1 a+1 & 3a+2& 1
Calculamos seu determinante por expansão:
det(A) = -(a+1)(2a+1) + a(a+1) + (a+1)^2 = (a+1)l[-(2a+1)+a+(a+1)r] = 0
Como det(A)=0 para todo a, o sistema nunca tem solução única. O posto de A será 2 (há menores 2times2 não nulos quando aneq -1, e mesmo para a=-1 vemos que há duas linhas independentes), logo sempre rank(A)=2.

Passo 3

Vamos resolver as duas primeiras equações e introduzir um parâmetro.
Da segunda equação
(a+1)y + z = 1 Longrightarrow z = 1 - (a+1)y
Substituindo em
(a+1)x + a y - z = -1 obtemos
(a+1)x + a y - l[1-(a+1)yr] = -1 ;Longrightarrow; (a+1)x + (2a+1)y = 0
Escolhendo y = t como parâmetro:
  • Se aneq -1, então x = -2a+1,a+1,,t, z = 1 - (a+1)t
  • Se a=-1, a equação vira 0cdot x +(-1),y=0, logo y=0; e então z=1, ficando x livre.
Em ambos os casos a solução geral das duas primeiras equações tem um grau de liberdade.

Passo 4

Impondo a terceira equação
(a+1)x + (3a+2)y + z = -1 - b,
substituímos x,y,z obtidos:
  • Para aneq -1 a soma dos termos em t se anula, e sobra 1 = -1 - b Long<=ftrightarrow b = -2
  • Para a=-1 a conta dá 1 = -1 - b Long<=ftrightarrow b = -2
Logo, se bneq -2 a última equação fica 1 = -1 - b, impossível, e o sistema é inconsistente. Se b=-2, a terceira equação é satisfeita automaticamente e mantemos um parâmetro livre, dando infinitas soluções.

Resposta

(i) Não possui solução para todo ainR e bneq -2.
(ii) Não há valores de a,b que garantam solução única.
(iii) Admite infinitas soluções para todo ainR e b = -2.

Exercícios relacionados