Questão (2,0 pontos). Seja . Mostre que se é não-singular então podemos assumir que a diagonal de contém apenas elementos não nulos. Com base nisso, obtenha as formas vetoriais para as iterações de ponto fixo de Gauss-jacobi e Gauss-Seidel.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é não--singular, então podemos reorganizar as linhas (ou colunas) de modo que todos os elementos da diagonal principal sejam não nulos. Em seguida, com esse fato, queremos escrever as iterações de ponto--fixo de Gauss--Jacobi e Gauss--Seidel em forma vetorial. O conteúdo envolve decompor
onde é a matriz diagonal, a parte estritamente inferior e a parte estritamente superior, e, a partir daí, obter as fórmulas de iteração.
Passo 2
Como é não–singular, . Pelo Teorema de Laplace, existe alguma permutação de linhas (ou de colunas) tal que o produto dos elementos nessa nova diagonal seja não nulo. Em outras palavras, existe uma matriz de permutação tal que todas as entradas são diferentes de zero. Assim, sem perda de generalidade, reindexamos o sistema para assumir que
Passo 3
Feita essa garantia, decompondo temos
onde
Passo 4
Para Gauss--Jacobi, escrevemos
Ax = b ;Longrightarrow; (D + L + U)x = b ;Longrightarrow; D,x = -,(L+U),x + b
Isolando x obtemos a iteração de ponto--fixo
x^(k+1) = -,D^-1(L+U),x^(k) ;+; D^-1b
Passo 5
Para Gauss–Seidel, agrupamos o termo triangular inferior com o diagonal:
Ax = b ;Longrightarrow; (D + L + U)x = b ;Longrightarrow; (D + L),x = -,U,x + b