1^a Questão (2,0 pontos). Seja A in R^n times n. Mostre que se A é não-singular então podemos assumir que a diagonal de A contém apenas elementos não nulos. Com base nisso, obtenha as formas vetoriais para as iterações de ponto fixo de Gauss-jacobi e Gauss-Seidel.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se AinR^ntimes n é não--singular, então podemos reorganizar as linhas (ou colunas) de modo que todos os elementos da diagonal principal sejam não nulos. Em seguida, com esse fato, queremos escrever as iterações de ponto--fixo de Gauss--Jacobi e Gauss--Seidel em forma vetorial. O conteúdo envolve decompor
A = D + L + U
onde D é a matriz diagonal, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior, e, a partir daí, obter as fórmulas de iteração.

Passo 2

Como A é não–singular, det(A)neq0. Pelo Teorema de Laplace, existe alguma permutação de linhas (ou de colunas) tal que o produto dos elementos nessa nova diagonal seja não nulo. Em outras palavras, existe uma matriz de permutação P tal que todas as entradas (PA)ii são diferentes de zero. Assim, sem perda de generalidade, reindexamos o sistema para assumir que
aiineq0, i=1,2,dots,n

Passo 3

Feita essa garantia, decompondo A temos
A = D + L + U,
onde
D = diag(a11,,a22,dots,ann), L = 0 & 0 & cdots & 0 a21 & 0 & cdots & 0 vdots & ddots & ddots & vdots an1 & cdots & an,n-1 & 0 , U = 0 & a12 & cdots & a1n 0 & 0 & ddots & vdots vdots & & ddots & an-1,n 0 & cdots & 0 & 0

Passo 4

Para Gauss--Jacobi, escrevemos
Ax = b ;Longrightarrow; (D + L + U)x = b ;Longrightarrow; D,x = -,(L+U),x + b
Isolando x obtemos a iteração de ponto--fixo
x^(k+1) = -,D^-1(L+U),x^(k) ;+; D^-1b

Passo 5

Para Gauss–Seidel, agrupamos o termo triangular inferior com o diagonal:
Ax = b ;Longrightarrow; (D + L + U)x = b ;Longrightarrow; (D + L),x = -,U,x + b
Daí a iteração fica
x^(k+1) = -,(D+L)^-1U,x^(k) ;+; (D+L)^-1b

Resposta

GaussJacobi: x^(k+1) = -,D^-1(L+U),x^(k) + D^-1b,
GaussSeidel: x^(k+1) = -,(D+L)^-1U,x^(k) + (D+L)^-1b

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