Sejam u=(1,1,0) e v=(0,1,2) no espaço euclidiano R^3. Determinar os vetores w in R^3 tais que |w|=1 elang<= u, wrang<==lang<= v, wrang<==0.

Solução

Seja w=(x, y, z). Então:
|w|^2=x^2+y^2+z^2=1,lang<= u, wrang<==x+y=0 e<v, wrang<==y+2 z=0
Resolvendo o sistema:
x^2+y^2+z^2 & =1 x+y & =0 y+2 z & =0
chegaremos a z= pm 13, x= pm 23 e y=mp 23.
Logo w=( pm 23, mp 23, pm 13)= pm 13(2,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores winR^3 tais que
|w|=1
e
lang<= u,wrang<==0,;lang<= v,wrang<==0,
onde u=(1,1,0) e v=(0,1,2). Vamos usar a definição de produto interno e norma para obter um sistema de equações em coordenadas.

Passo 2

Escrevendo w=(x,y,z), as condições viram
x^2+y^2+z^2=1, x+y=0, y+2z=0

Passo 3

Das equações lineares x+y=0 e y+2z=0 segue
x=-y, y=-2zLongrightarrow x=2z
Logo
w=(x,y,z)=(2z,-2z,z)=z,(2,-2,1)

Passo 4

Para ter |w|=1 precisamos que
|w|=|z|,|(2,-2,1)|=|z|raiz4+4+1=3|z|=1,
ou seja
|z|=tfrac13

Passo 5

Portanto z=pmtfrac13. Daí
x=2z=pmtfrac23, y=-2z=mptfrac23,
e
w=pmtfrac13(2,-2,1)

Resposta

w = pm tfrac13(2,-2,1)

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