Considere a curva C obtida pela interseção do paraboloide z = x^2 + y^2 com o plano 2 x - z + 8 = 0. Determine uma parametrização vec(r)(t) para C;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas figuras geométricas: um paraboloide dado pela equação e um plano dado por . A curva é onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, a interseção delas. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para facilitar o cálculo. A equação do plano é . Podemos isolar o :

Passo 3

Agora, sabemos que na curva , o valor de deve satisfazer ambas as equações. Então, vamos igualar as duas expressões para :

Passo 4

Para facilitar a parametrização, vamos completar o quadrado na equação . Observamos que a parte envolvendo pode ser completada:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

A equação representa um círculo de raio 3 centrado no ponto no plano . Para parametrizar esse círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Vamos definir:
Onde é o parâmetro que varia de 0 a .

Passo 6

Agora, resolvemos para :
E já temos :

Passo 7

Lembrando que , substituímos na expressão de :

Resposta

A parametrização da curva é dada por:

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