Considere a curva
obtida pela interseção do paraboloide
com o plano
. Determine uma parametrização
para
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas figuras geométricas: um paraboloide dado pela equação
e um plano dado por
. A curva
é onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, a interseção delas. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização
para essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para facilitar o cálculo. A equação do plano é
. Podemos isolar o
:
Passo 3
Agora, sabemos que na curva
, o valor de
deve satisfazer ambas as equações. Então, vamos igualar as duas expressões para
:
Passo 4
Para facilitar a parametrização, vamos completar o quadrado na equação
. Observamos que a parte envolvendo
pode ser completada:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
A equação
representa um círculo de raio 3 centrado no ponto
no plano
. Para parametrizar esse círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Vamos definir:
Onde
é o parâmetro que varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
E já temos
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A parametrização da curva
é dada por: