Considere a curva C obtida pela interseção do paraboloide z = x^2 + y^2 com o plano 2 x - z + 8 = 0. Encontre a equação paramétrica da reta tangente à C no ponto P = (1, 3, 10).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva C que é a interseção entre o paraboloide e o plano . Queremos encontrar a equação paramétrica da reta tangente a essa curva no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interseção de superfícies, cálculos de derivadas parciais e como determinar vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente pertence à curva C. Substituindo x = 1 e na equação do paraboloide:
E na equação do plano:
Como as duas equações são satisfeitas, P está na curva C.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva no ponto P, precisamos determinar um vetor tangente à curva nesse ponto. A curva C é a interseção de duas superfícies, então a reta tangente será perpendicular ao vetor normal de ambas as superfícies no ponto P.

Passo 4

Vamos encontrar os vetores normais das duas superfícies no ponto P. Para o paraboloide , podemos reescrever como . O vetor normal é o gradiente de f:
Substituindo :

Passo 5

Agora, para o plano , o vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Neste caso:

Passo 6

O vetor tangente à curva C no ponto P é perpendicular a ambos os vetores normais encontrados. Para encontrar esse vetor tangente, calculamos o produto vetorial entre os vetores normais:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -6:

Passo 7

Agora que temos o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde é o ponto da reta e (a, b, c) é o vetor diretor.

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente à curva C no ponto é:
Onde t é o parâmetro.

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