Considere a curva obtida pela interseção do paraboloide com o plano . Encontre a equação paramétrica da reta tangente à no ponto .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva que é a interseção entre o paraboloide e o plano . Queremos encontrar a equação paramétrica da reta tangente a essa curva no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interseção de superfícies, cálculos de derivadas parciais e como determinar vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente pertence à curva . Substituindo e na equação do paraboloide:
E na equação do plano:
Como as duas equações são satisfeitas, está na curva .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos determinar um vetor tangente à curva nesse ponto. A curva é a interseção de duas superfícies, então a reta tangente será perpendicular ao vetor normal de ambas as superfícies no ponto .
Passo 4
Vamos encontrar os vetores normais das duas superfícies no ponto . Para o paraboloide , podemos reescrever como . O vetor normal é o gradiente de :
Substituindo :
Passo 5
Agora, para o plano , o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Neste caso:
Passo 6
O vetor tangente à curva no ponto é perpendicular a ambos os vetores normais encontrados. Para encontrar esse vetor tangente, calculamos o produto vetorial entre os vetores normais:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -6:
Passo 7
Agora que temos o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde é o ponto da reta e (a, b, c) é o vetor diretor.
Resposta
A equação paramétrica da reta tangente à curva C no ponto é: