Defina N5 = {n ∈ N ; n mod 5 = 0} e n <= 121. (Lembre: n mod 5 = 0 significa que n é múltiplo de 5.)
(a) Calcule o número de elementos de N5 (indicado por # N5 ) e de 1/5 N5 = {n / 5 ; n ∈} N_{5}.
(b) Conclua que # N_5 = 121 div 5 e # 1/5 N5 = 121 div 5^2. (Lembre: n div m é 0 quociente na divisão de n por m, e n mod m é o resto na mesma divisão, isto é,
n = (n div m) * m + (n mod m)
© Na fatoração de 121! (fatorial de cento e vinte e um) em números primos, qual a potência de 5?
(d) Com quantos zeros termina o fatorial de 121?
(e) Com quantos zeros termina o fatorial de 11^3 ?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto , ou seja, todos os números naturais até 121 que são múltiplos de 5. As questões envolvem contar quantos elementos há nesse conjunto e em um conjunto derivado, além de explorar conceitos como divisão inteira, fatoração de fatoriais e zeros no final de fatoriais. Vamos precisar usar operações de módulo, divisões inteiras, fatoração em primos e entender como contar os zeros do fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Precisamos calcular o número de elementos de , que representamos por , e o número de elementos de .
Para encontrar , contamos quantos múltiplos de 5 existem até 121. Isso é equivalente a calcular a divisão inteira de 121 por 5:
Isso porque , e o próximo múltiplo seria 125, que é maior que 121.
Para , estamos dividindo cada múltiplo de 5 por 5, o que resulta nos números naturais até . Consideramos apenas os inteiros:

Passo 3

Agora, na parte (b), precisamos concluir que e , o que já demonstramos na parte (a).

Passo 4

Na parte ©, devemos encontrar a potência de 5 na fatoração de 121!.
Para isso, usamos a fórmula que diz que a potência de um primo em é:
Aplicando para e :
Portanto, a potência de 5 na fatoração de 121! é 28.

Passo 5

Na parte (d), queremos saber com quantos zeros termina 121!.
Um zero no final de um número vem de um fator de 10, que é . Como há mais fatores de 2 do que de 5 em 121!, o número de zeros é igual à quantidade de fatores de 5, que já calculamos ser 28.

Passo 6

Na parte (e), devemos encontrar com quantos zeros termina o fatorial de .
Primeiro, calculamos a potência de 5 na fatoração de 1331!. Usando a mesma fórmula:
Calculando cada termo:
Somando: .
Então, 1331! termina com 331 zeros.

Resposta

(a) e .
(b) e .
© A potência de 5 na fatoração de 121! é 28.
(d) 121! termina com 28 zeros.
(e) 1331! termina com 331 zeros.

Exercícios relacionados