Defina
e
. (Lembre:
significa que
é múltiplo de 5.)
(a) Calcule o número de elementos de
(indicado por
) e de
.
(b) Conclua que
e
. (Lembre:
é 0 quociente na divisão de
por
, e
é o resto na mesma divisão, isto é,
© Na fatoração de 121! (fatorial de cento e vinte e um) em números primos, qual a potência de 5?
(d) Com quantos zeros termina o fatorial de 121?
(e) Com quantos zeros termina o fatorial de
?
(a) Calcule o número de elementos de
(b) Conclua que
(d) Com quantos zeros termina o fatorial de 121?
(e) Com quantos zeros termina o fatorial de
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto
, ou seja, todos os números naturais até 121 que são múltiplos de 5. As questões envolvem contar quantos elementos há nesse conjunto e em um conjunto derivado, além de explorar conceitos como divisão inteira, fatoração de fatoriais e zeros no final de fatoriais. Vamos precisar usar operações de módulo, divisões inteiras, fatoração em primos e entender como contar os zeros do fatorial.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Precisamos calcular o número de elementos de
, que representamos por
, e o número de elementos de
.
Para encontrar
, contamos quantos múltiplos de 5 existem até 121. Isso é equivalente a calcular a divisão inteira de 121 por 5:
Isso porque
, e o próximo múltiplo seria 125, que é maior que 121.
Para
, estamos dividindo cada múltiplo de 5 por 5, o que resulta nos números naturais até
. Consideramos apenas os inteiros:
Passo 3
Agora, na parte (b), precisamos concluir que
e
, o que já demonstramos na parte (a).
Passo 4
Na parte ©, devemos encontrar a potência de 5 na fatoração de 121!.
Para isso, usamos a fórmula que diz que a potência de um primo
em
é:
Aplicando para
e
:
Portanto, a potência de 5 na fatoração de 121! é 28.
Passo 5
Na parte (d), queremos saber com quantos zeros termina 121!.
Um zero no final de um número vem de um fator de 10, que é
. Como há mais fatores de 2 do que de 5 em 121!, o número de zeros é igual à quantidade de fatores de 5, que já calculamos ser 28.
Passo 6
Na parte (e), devemos encontrar com quantos zeros termina o fatorial de
.
Primeiro, calculamos a potência de 5 na fatoração de 1331!. Usando a mesma fórmula:
Calculando cada termo:
Somando:
.
Então, 1331! termina com 331 zeros.
Resposta
(a)
e
.
(b)
e
.
© A potência de 5 na fatoração de 121! é 28.
(d) 121! termina com 28 zeros.
(e) 1331! termina com 331 zeros.