Considere a elipse
sen
. Calcule a curvatura da elipse em um ponto arbitrário
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a curvatura de uma elipse em um ponto qualquer dado pelo parâmetro
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de curvas no espaço, especificamente a curvatura de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de derivadas de vetores e a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da curva que estamos lidando. A elipse está definida por:
Aqui,
e
são os semi-eixos da elipse, e
varia de
a
.
Passo 3
Para encontrar a curvatura, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Passo 4
Agora, vamos lembrar a fórmula para a curvatura
de uma curva paramétrica:
Isso significa que precisamos fazer o produto vetorial das duas derivadas e depois dividir pelo módulo da primeira derivada elevada ao cubo.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial
:
]
Sabemos que
, então:
O módulo desse vetor é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo da primeira derivada
:
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da elipse no ponto correspondente ao parâmetro
é: