Considere a elipse vec{r}(t) = (a cos(t), b) sen (t), 0, a, b > 0, 0 <= t <= 2 pi. Calcule a curvatura da elipse em um ponto arbitrário t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a curvatura de uma elipse em um ponto qualquer dado pelo parâmetro . A matéria envolvida aqui é o cálculo de curvas no espaço, especificamente a curvatura de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de derivadas de vetores e a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da curva que estamos lidando. A elipse está definida por:
Aqui, e são os semi-eixos da elipse, e varia de a .

Passo 3

Para encontrar a curvatura, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a .
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):

Passo 4

Agora, vamos lembrar a fórmula para a curvatura de uma curva paramétrica:
Isso significa que precisamos fazer o produto vetorial das duas derivadas e depois dividir pelo módulo da primeira derivada elevada ao cubo.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
]
Sabemos que , então:
O módulo desse vetor é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo da primeira derivada :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da elipse no ponto correspondente ao parâmetro é:

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