Considere a elipse
sen
. Conclua que se a elipse for um círculo
, a curvatura é constante igual a
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação paramétrica de uma elipse dada por , onde
e
são maiores que zero, e
varia de
a
. O objetivo é mostrar que, se a elipse for na verdade um círculo (ou seja, quando
), a curvatura dessa curva é constante e igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura de uma curva no espaço e como calcular a curvatura de uma curva paramétrica. A curvatura basicamente nos diz o quão “curvada” é uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da curvatura
para uma curva paramétrica
:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
, que representa a velocidade da curva, e
é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo
representa o produto vetorial, e
denota a norma (ou magnitude) do vetor.
Passo 3
Vamos calcular
e
para a nossa curva:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
:
A solução desse determinante é:
Simplificando:
Agora, a magnitude desse vetor é:
E a magnitude de
é:
Então, a curvatura
fica:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso especial onde a elipse é um círculo, ou seja,
. Substituindo
por
:
Sabemos que , então:
Resposta
Assim, mostramos que quando
, ou seja, a elipse é um círculo, a curvatura
é constante e igual a
.