Considere a elipse vec{r}(t) = (a cos(t), b) sen (t), 0, a, b > 0, 0 <= t <= 2 pi. Conclua que se a elipse for um círculo a = b, a curvatura é constante igual a 1/a;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação paramétrica de uma elipse dada por , onde e são maiores que zero, e varia de a . O objetivo é mostrar que, se a elipse for na verdade um círculo (ou seja, quando ), a curvatura dessa curva é constante e igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura de uma curva no espaço e como calcular a curvatura de uma curva paramétrica. A curvatura basicamente nos diz o quão “curvada” é uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da curvatura para uma curva paramétrica :
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade da curva, e é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo representa o produto vetorial, e denota a norma (ou magnitude) do vetor.

Passo 3

Vamos calcular e para a nossa curva:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
A solução desse determinante é:
Simplificando:
Agora, a magnitude desse vetor é:
E a magnitude de é:
Então, a curvatura fica:

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso especial onde a elipse é um círculo, ou seja, . Substituindo por :
Sabemos que , então:

Resposta

Assim, mostramos que quando , ou seja, a elipse é um círculo, a curvatura é constante e igual a .

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