(2.0 pontos) Determine todos os valores diferentes de z^{1 / 4} quando
z=-8-8 \sqrt{3} i
Também, exiba eles como os vértices de um polígono regular e, finalmente, idendtifiqu raiz principal.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as raízes quárticas de z=-8-8\sqrt{3}\,i, exibi-las como vértices de um polígono regular no plano complexo e, por fim, identificar a raiz principal. O conteúdo usado será a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre para raízes.

Passo 2

Escrevemos z em forma polar. Primeiro calculamos o módulo:
|z| = \sqrt{(-8)^{2} + \bigl(-8\sqrt{3}\bigr)^{2}} = \sqrt{64 + 64\cdot3} = \sqrt{256} =16.
Em seguida, a argumentação principal \theta satisfaz
\tan\theta = \frac{-8\sqrt{3}}{-8} = \sqrt{3},
e como z está no terceiro quadrante, \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}. Logo
z = 16\cis\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr).

Passo 3

Pelas fórmulas de De Moivre, as quatro raízes quárticas w_k de z são
w_k = \sqrt[4]{16}\;\cis\!\Bigl(\tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\bigr)\Bigr), \quad k=0,1,2,3.
Como \sqrt[4]{16}=2, temos
w_k = 2\cis\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{k\pi}{2}\Bigr), \quad k=0,1,2,3.

Passo 4

Calculando cada w_k:
\begin{aligned} w_0 &= 2\cis\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =2\bigl(\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =1 + i\sqrt3,\\\ w_1 &= 2\cis\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =2\cis\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{6}\Bigr) =2\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}+i\,\tfrac12\bigr) =-\sqrt3 + i,\\\ w_2 &= 2\cis\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+\pi\Bigr) =2\cis\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr) =2\bigl(-\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =-1 - i\sqrt3,\\\ w_3 &= 2\cis\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{3\pi}{2}\Bigr) =2\cis\!\Bigl(\tfrac{11\pi}{6}\Bigr) =2\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-i\,\tfrac12\bigr) =\sqrt3 - i. \end{aligned}

Passo 5

Essas quatro raízes estão igualmente espaçadas a 90^\circ no plano complexo e formam os vértices de um quadrado de raio 2 centrado na origem.

Passo 6

A raiz principal é aquela cujo argumento \phi_0 seja o menor valor não negativo obtido em
\phi_k = \tfrac{\pi}{3} + \tfrac{k\pi}{2}. Para k=0, \phi_0=\tfrac{\pi}{3}\in[0,2\pi). Portanto a raiz principal é
w_0 = 1 + i\sqrt3.

Resposta

As quatro raízes são
1 + i\sqrt3,\quad -\sqrt3 + i,\quad -1 - i\sqrt3,\quad \sqrt3 - i,
que formam um quadrado regular de centro na origem. A raiz principal é 1 + i\sqrt3.

Exercícios relacionados