(2.0 pontos) Determine todos os valores diferentes de
quando
Também, exiba eles como os vértices de um polígono regular e, finalmente, idendtifiqu raiz principal.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as raízes quárticas de
, exibi-las como vértices de um polígono regular no plano complexo e, por fim, identificar a raiz principal. O conteúdo usado será a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre para raízes.
Passo 2
Escrevemos
em forma polar. Primeiro calculamos o módulo:
Em seguida, a argumentação principal
satisfaz
e como
está no terceiro quadrante,
. Logo
Passo 3
Pelas fórmulas de De Moivre, as quatro raízes quárticas
de
são
Como
, temos
Passo 4
Calculando cada
:
Passo 5
Essas quatro raízes estão igualmente espaçadas a
no plano complexo e formam os vértices de um quadrado de raio
centrado na origem.
Passo 6
A raiz principal é aquela cujo argumento
seja o menor valor não negativo obtido em
. Para
,
. Portanto a raiz principal é
Resposta
As quatro raízes são
que formam um quadrado regular de centro na origem. A raiz principal é
.