Considere a curva cicloide sigma(theta)=(a theta-a sen theta, a-a cos theta) com a in N. Determine:
(a) vetor velocidade e Velocidade (ou seja, Comprimento do Vetor Velocidade).
(b) vetor aceleração.
(c) A curva está parametrizada pelo comprimento de arco?
(d) Tangente Unitária.
(e) Normal Unitária.

Passo 1

O enunciado nos dá a cicloide
sigma(theta)=l(atheta - asintheta,;a - acosthetar),
com parâmetro theta. Vamos usar:
1. Derivação componente a componente para achar vetor velocidade sigma'(theta) e aceleração sigma''(theta).
2. Norma de um vetor |(x,y)|=raizx^2+y^2 para obter a velocidade escalar.
3. Critério de parametrização por comprimento de arco: é por arco se |sigma'(theta)|=1 para todo theta.
4. Definição de versores:
T(theta)=sigma'(theta)|sigma'(theta)|,
N(theta)=d T/dtheta|d T/dtheta|.

Passo 2

Derivando componente a componente temos
sigma'(theta)=l(a(1-costheta),;asinthetar)

Passo 3

A velocidade escalar é
|sigma'(theta)| =raiza^2(1-costheta)^2 + a^2sin^2theta =araiz(1-costheta)^2+sin^2theta =araiz2-2costheta =2al|sin(tfractheta2)r|

Passo 4

Derivando novamente obtemos o vetor aceleração
sigma''(theta)=l(asintheta,;acosthetar)

Passo 5

Para ser parametrizada por comprimento de arco precisamos de |sigma'(theta)|=1. Como aqui
|sigma'(theta)|=2al|sin(tfractheta2)r|neq1
em geral, não é parametrização por arco.

Passo 6

O versor tangente é
T(theta) =sigma'(theta)|sigma'(theta)| =l(a(1-costheta),,asinthetar)2asin(tfractheta2) =l(sin(tfractheta2),;cos(tfractheta2)r),
onde usamos 1-costheta=2sin^2(tfractheta2) e sintheta=2sin(tfractheta2)cos(tfractheta2),.

Passo 7

O versor normal é dado por
N(theta) =d T/dtheta|d T/dtheta| com d Tdtheta=l(tfrac12cos(tfractheta2),,-tfrac12sin(tfractheta2)r),
e |d T/dtheta|=tfrac12, logo
N(theta)=l(cos(tfractheta2),,-sin(tfractheta2)r)

Resposta

(a) sigma'(theta)=l(a(1-costheta),,asinthetar) e |sigma'(theta)|=2al|sin(tfractheta2)r|.
(b) sigma''(theta)=l(asintheta,,acosthetar).
(c) Não, pois |sigma'(theta)|neq1.
(d) T(theta)=l(sin(tfractheta2),,cos(tfractheta2)r).
(e) N(theta)=l(cos(tfractheta2),,-sin(tfractheta2)r).

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