Considere a curva parametrizada sigma(t)=(cos t+t sen t, sen t-t cos t), t >= 0. Determine:
(b) Vetor aceleração a (t) e Aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
sigma(t) = (cos t + tsin t,;sin t - tcos t), t>=0
e pede o vetor aceleração a(t) e a aceleração (isto é, o módulo de a(t)). Para isso vamos derivar componente a componente, primeiro para obter a velocidade v(t) e depois a aceleração.

Passo 2

Derivando as componentes de sigma(t), obtemos a velocidade v(t)=sigma'(t).
Para a componente x(t)=cos t + tsin t temos
x'(t) = -sin t + l(sin t + tcos tr) = tcos t
Para a componente y(t)=sin t - tcos t temos
y'(t) = cos t - l(cos t - tsin tr) = tsin t
Logo
v(t) = (tcos t,;tsin t)

Passo 3

Agora derivamos v(t) para achar o vetor aceleração a(t)=v'(t).
Para a componente tcos t
ddtl(tcos tr) = cos t - tsin t
Para a componente tsin t
ddtl(tsin tr) = sin t + tcos t
Portanto
a(t) = (cos t - tsin t,;sin t + tcos t)

Passo 4

A aceleração é o módulo de a(t):
|a(t)| = raiz(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2
Expandindo e somando termos semelhantes dá
|a(t)| = raizcos^2t + sin^2t + t^2(sin^2t + cos^2t) = raiz1 + t^2

Resposta

a(t) = (cos t - tsin t,;sin t + tcos t), |a(t)| = raiz1 + t^2

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