Considere a curva parametrizada sigma(t)=(cos t+t sen t, sen t-t cos t), t >= 0. Determine:
(a) Vetor velocidade v(t) e Velocidade.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
sigma(t) = (cos t + tsin t,;sin t - tcos t) para t>=0
e pede o vetor velocidade v(t)=sigma'(t) e a velocidade (módulo de v(t)). Para isso vamos calcular as derivadas de cada componente.

Passo 2

Seja
x(t)=cos t + tsin t, y(t)=sin t - tcos t
Derivando em relação a t:
- x'(t) = -sin t + (sin t + tcos t) = tcos t.
- y'(t) = cos t - (cos t - tsin t) = tsin t.

Passo 3

O vetor velocidade é
v(t) = l(x'(t),,y'(t)r) = l(tcos t,;tsin tr)

Passo 4

A velocidade é o módulo de v(t):
|v(t)| = raiz(tcos t)^2 + (tsin t)^2 = raizt^2(cos^2 t + sin^2 t) = raizt^2 = t,
e como t>=0, temos |v(t)|=t.

Resposta

v(t) = (tcos t,;tsin t),|v(t)| = t

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