Considere a curva cônica dada pela equação
Se for parábola, exiba as coordenadas do foco, do vértice, e a equação da reta diretriz, se for elipse, exiba as coordenadas dos focos, dos vértices e do centro, se for hipérbole, exiba as coordenadas dos focos, dos vértices, do centro, e as equações das assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação da curva cônica
. O conteúdo aqui envolve identificar que tipo de cônica é essa (parábola, elipse ou hipérbole) e, dependendo disso, encontrar características específicas como foco, vértice, etc. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e colocar a equação na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho com o
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado com os termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 na equação:
Passo 4
Vamos isolar o termo que envolve
:
Passo 5
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola vertical:
Comparando com a nossa equação:
Então,
.
Passo 6
Sabendo que
, podemos encontrar o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
- Vértice:
- Foco: Como
, o foco está 2 unidades à esquerda do vértice:
- Diretriz: A diretriz é uma reta vertical situada a
unidades do vértice, do lado oposto ao foco:
Resposta
A curva é uma parábola. As características são:
- Vértice:
- Foco:
- Equação da reta diretriz: