Considere a curva cônica dada pela equação
y^2+8 y+8 x=8
Se for parábola, exiba as coordenadas do foco, do vértice, e a equação da reta diretriz, se for elipse, exiba as coordenadas dos focos, dos vértices e do centro, se for hipérbole, exiba as coordenadas dos focos, dos vértices, do centro, e as equações das assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação da curva cônica y^2 + 8y + 8x = 8 . O conteúdo aqui envolve identificar que tipo de cônica é essa (parábola, elipse ou hipérbole) e, dependendo disso, encontrar características específicas como foco, vértice, etc. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e colocar a equação na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho com o y . Então, temos:
y^2 + 8y = -8x + 8

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado com os termos de y . Para isso, pegamos o coeficiente de y , que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(82)^2 = 16
Então, adicionamos e subtraímos 16 na equação:
y^2 + 8y + 16 - 16 = -8x + 8
(y + 4)^2 - 16 = -8x + 8

Passo 4

Vamos isolar o termo que envolve x :
(y + 4)^2 = -8x + 24
(y + 4)^2 = -8(x - 3)

Passo 5

Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola vertical:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação:
h = 3, k = -4, 4p = -8
Então, p = -2 .

Passo 6

Sabendo que p = -2 , podemos encontrar o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
  • Vértice: (h, k) = (3, -4)
  • Foco: Como p = -2 , o foco está 2 unidades à esquerda do vértice:
(h + p, k) = (3 - 2, -4) = (1, -4)
  • Diretriz: A diretriz é uma reta vertical situada a p unidades do vértice, do lado oposto ao foco:
x = h - p = 3 - (-2) = 5

Resposta

A curva é uma parábola. As características são:
  • Vértice: (3, -4)
  • Foco: (1, -4)
  • Equação da reta diretriz: x = 5

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