Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se cada equação de um sistema linear consistente for multiplicada por uma constante
, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por
.
Se cada equação de um sistema linear consistente for multiplicada por uma constante
Passo 1
O enunciado considera um sistema linear consistente (ou seja, tem pelo menos uma solução) e diz que “se multiplicarmos cada equação por uma constante
então as soluções do sistema novo são obtidas multiplicando as soluções do sistema original por
”. O conteúdo aqui é manipulação de equações lineares e solução de sistemas; vamos usar a ideia de operações elementares (multiplicar uma equação por escalar) e estudar dois casos:
e
.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Seja o sistema original escrito em forma matricial como
Multiplicar cada equação por
dá o sistema
Como
é inversível, basta dividir tudo por
e voltamos exatamente a
. Logo esses dois sistemas são equivalentes, ou seja, têm exatamente o mesmo conjunto de soluções
. Não faz sentido “escalar” a solução: se
resolve
, o mesmo
resolve
, não
.
Passo 3
Agora considere
. Multiplicar cada equação por
transforma todo sistema original em
que é uma equação trivial e aceita qualquer vetor
como solução. O conjunto de soluções do sistema novo é todo
, enquanto as soluções escaladas do sistema original seriam
, isto é, apenas o vetor
. Claramente não coincidem.
Resposta
Falsa.