Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se cada equação de um sistema linear consistente for multiplicada por uma constante c, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por c.

Passo 1

O enunciado considera um sistema linear consistente (ou seja, tem pelo menos uma solução) e diz que “se multiplicarmos cada equação por uma constante c então as soluções do sistema novo são obtidas multiplicando as soluções do sistema original por c”. O conteúdo aqui é manipulação de equações lineares e solução de sistemas; vamos usar a ideia de operações elementares (multiplicar uma equação por escalar) e estudar dois casos: cneq0 e c=0.

Passo 2

Suponha primeiro que cneq0. Seja o sistema original escrito em forma matricial como
A,x = b
Multiplicar cada equação por cneq0 dá o sistema
cA,x = c,b
Como c é inversível, basta dividir tudo por c e voltamos exatamente a A,x=b. Logo esses dois sistemas são equivalentes, ou seja, têm exatamente o mesmo conjunto de soluções x. Não faz sentido “escalar” a solução: se x resolve A,x=b, o mesmo x resolve cA,x=c,b, não c,x.

Passo 3

Agora considere c=0. Multiplicar cada equação por 0 transforma todo sistema original em
0cdot A,x = 0cdot b Longrightarrow 0=0,
que é uma equação trivial e aceita qualquer vetor x como solução. O conjunto de soluções do sistema novo é todo R^n, enquanto as soluções escaladas do sistema original seriam ,0cdot xorig, isto é, apenas o vetor 0. Claramente não coincidem.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados