Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-3,1);
  • a excentricidade é igual a 0.6 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo Ox;
  • o ponto (0,4) pertence a E.
    Complete:
    As coordenadas dos vértices são:

Passo 1

O enunciado diz que temos uma elipse E de centro (h,k)=(-3,1), excentricidade e=0,6 e eixo maior paralelo a Ox, e que o ponto (0,4) pertence a E. O que precisamos usar é a equação padrão de uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior horizontal e a relação entre os semi-eixos a,b e o semi-distância focal c.

Passo 2

Para uma elipse com eixo maior horizontal temos a equação
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
onde c e os semi-eixos satisfazem
c^2 = a^2 - b^2 e e = ca

Passo 3

Da definição de excentricidade e=ca obtemos
c = ae Longrightarrow c^2 = a^2e^2
Substituindo em c^2=a^2 - b^2 vem
a^2e^2 = a^2 - b^2 Longrightarrow b^2 = a^2l(1 - e^2r)
Como e=0,6 temos 1-e^2 = 1 - 0,36 = 0,64, logo
b^2 = 0,64,a^2

Passo 4

O ponto (0,4) satisfaz a equação da elipse, ou seja
l(0 - (-3)r)^2a^2 + l(4 - 1r)^2b^2 = 1
Isso dá
9a^2 + 90,64,a^2 = 1

Passo 5

Somando as frações em a^2 obtemos
9l(1 + 10,64r)!/!a^2 = 1 Longrightarrow a^2 = 9l(1 + 1,5625r) = 9 times 2,5625 = 23,0625
Em forma exata 23,0625 = tfrac36916, então
a = raiz36916 = 3raiz414

Passo 6

Como o eixo maior é horizontal, os vértices ficam em
(h pm a,;k) = l(-3 pm 3raiz414,;1r)

Resposta

As coordenadas dos vértices são l(-3 + 3raiz414,,1r) e l(-3 - 3raiz414,,1r).

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