Encontre a equação da reta tangente a curva acima no ponto correspondente a .
Passo 1
Estamos com a curva implícita
e queremos a reta tangente no ponto em que . Para isso precisamos: . Determinar o valor de quando . . Calcular por diferenciação implícita. . Avaliar essa derivada no ponto encontrado e, por fim, . Escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Com , a equação vira
Fazendo (e ), temos , cujas raízes são ou . Como , temos e, então,
O ponto de tangência é .
Passo 3
Diferenciando implicitamente
em relação a , obtemos
Para :
Para , usando a regra da cadeia:
Passo 4
Somando as partes e igualando a zero:
Agrupando os termos com :
Logo,
Passo 5
No ponto temos . Então:
Portanto
Passo 6
A reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular -35. Logo, sua equação em forma ponto-inclinação é