Considere a curva dada pela equação:
x y^2+raizx y=2
Encontre a equação da reta tangente a curva acima no ponto correspondente a y=1.

Passo 1

Estamos com a curva implícita
x,y^2 + raizx,y = 2
e queremos a reta tangente no ponto em que y=1. Para isso precisamos:
1. Determinar o valor de x quando y=1.
2. Calcular dydx por diferenciação implícita.
3. Avaliar essa derivada no ponto encontrado e, por fim,
4. Escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Com y=1, a equação vira
xcdot1^2 + raizxcdot1 = 2 Longrightarrow x + raizx = 2
Fazendo u = raizx (e u>=0), temos u^2 + u - 2 = 0, cujas raízes são u=1 ou u=-2. Como u>=0, temos u=1 e, então,
raizx = 1 Longrightarrow x = 1
O ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Diferenciando implicitamente
x,y^2 + (x,y)^1/2 = 2
em relação a x, obtemos
ddx(x,y^2) + ddxl((x,y)^1/2r) = 0
bul<=t Para x,y^2:
ddx(x,y^2) = y^2 + 2x,y,dydx
bul<=t Para raizx,y=(x,y)^1/2, usando a regra da cadeia:
ddx(x,y)^1/2 = 12raizx,ycdotddx(x,y) = 12raizx,yl(y + x,dydxr)

Passo 4

Somando as partes e igualando a zero:
y^2 + 2x,y,y' ;+;y + x,y'2raizx,y = 0
Agrupando os termos com y':
y'l(2x,y + x2raizx,yr) = -,l(y^2 + y2raizx,yr)
Logo,
y' = -y^2 + y2raizx,y 2x,y + x2raizx,y

Passo 5

No ponto (1,1) temos raizx,y=raiz1cdot1=1. Então:
2x,y + x2raizx,y = 2cdot1cdot1 + 12cdot1 = 2 + tfrac12 = tfrac52,
y^2 + y2raizx,y = 1^2 + 12cdot1 = 1 + tfrac12 = tfrac32
Portanto
y'l|(1,1) = -tfrac32tfrac52 = -35

Passo 6

A reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular -35. Logo, sua equação em forma ponto-inclinação é
y - 1 = -tfrac35,(x - 1)

Resposta

y - 1 = -35,(x - 1)

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