Determine os valores de alpha e beta de modo que a função
f(x)=rll -alpha x+3, & se & 0 <= x <= 2 x-beta, & se & 2<x <= 3 2, & se & 3<x <= 4
seja continua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de alpha e beta pra garantir que a função seja contínua. Isso pertence ao estudo de continuidade de funções, onde a ideia é que não tenha “saltos” na função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função pode ter problemas de continuidade. Olhando para f(x), vemos que ela muda de expressão nos pontos x = 2 e x = 3. Então, precisamos garantir que a função esteja contínua nesses pontos.

Passo 3

Para que a função seja contínua em x = 2, o valor que a função se aproxima de cada lado desse ponto deve ser o mesmo. Ou seja, o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 2 pela direita.
Matematicamente:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x)

Passo 4

Vamos calcular esses limites.
Para x to 2^- (pela esquerda), usamos a primeira parte da função:
f(x) = -alpha x + 3
Então:
limx to 2^- f(x) = -alpha cdot 2 + 3 = -2alpha + 3
Para x to 2^+ (pela direita), usamos a segunda parte da função:
f(x) = x - beta
Então:
limx to 2^+ f(x) = 2 - beta

Passo 5

Igualando os dois limites para garantir a continuidade em x = 2:
-2alpha + 3 = 2 - beta
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para x = 3. A função também muda de expressão nesse ponto, então temos que garantir continuidade lá.
limx to 3^- f(x) = limx to 3^+ f(x)

Passo 7

Calculando os limites:
Para x to 3^- (pela esquerda), usamos a segunda parte da função:
f(x) = x - beta
Então:
limx to 3^- f(x) = 3 - beta
Para x to 3^+ (pela direita), usamos a terceira parte da função:
f(x) = 2
Então:
limx to 3^+ f(x) = 2

Passo 8

Igualando os dois limites para garantir a continuidade em x = 3:
3 - beta = 2
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 9

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. -2alpha + 3 = 2 - beta
  2. 3 - beta = 2
Da segunda equação:
3 - beta = 2 Rightarrow beta = 1

Passo 10

Substituindo beta = 1 na primeira equação:
-2alpha + 3 = 2 - 1 Rightarrow -2alpha + 3 = 1
-2alpha = 1 - 3 Rightarrow -2alpha = -2 Rightarrow alpha = 1

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são alpha = 1 e beta = 1.

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