Seja a espiral logarítmica em
dada pela parametrização: (4,0 pontos)
(b) Calcule a curvatura e o raio de curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espiral logarítmica no espaço tridimensional dada pela parámetro:
A questão pede para calcular a curvatura e o raio de curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fórmulas que relacionam as derivadas da parametrização com a curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura
de uma curva parametrizada por
pode ser calculada usando a fórmula:
E o raio de curvatura
é simplesmente o inverso da curvatura:
Então, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
:
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos calcular o produto vetorial
.
Vamos chamar:
O produto vetorial é dado por:
Calculando cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Simplificando o terceiro componente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial
:
Vamos simplificar cada termo:
Somando todos:
Simplificando dentro da raiz:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Simplificando cada termo:
Somando todos:
Passo 8
Agora, voltando à fórmula da curvatura:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, o raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Resposta
A curvatura da espiral é
e o raio de curvatura é
.