Seja a espiral logarítmica em R^3 dada pela parametrização: (4,0 pontos)
alpha(t)=(e^t cos t, e^t sen t, e^t)
(b) Calcule a curvatura e o raio de curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espiral logarítmica no espaço tridimensional dada pela parámetro:
alpha(t) = (e^t cos t, e^t sin t, e^t)
A questão pede para calcular a curvatura e o raio de curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fórmulas que relacionam as derivadas da parametrização com a curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura kappa de uma curva parametrizada por alpha(t) pode ser calculada usando a fórmula:
kappa = ||alpha'(t) times alpha''(t)||||alpha'(t)||^3
E o raio de curvatura R é simplesmente o inverso da curvatura:
R = 1kappa
Então, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de alpha(t) .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada alpha'(t) :
alpha'(t) = (ddt(e^t cos t), ddt(e^t sin t), ddt(e^t))
Calculando cada componente:
  • Para e^t cos t :
ddt(e^t cos t) = e^t cos t - e^t sin t
  • Para e^t sin t :
ddt(e^t sin t) = e^t sin t + e^t cos t
  • Para e^t :
ddt(e^t) = e^t
Então,
alpha'(t) = (e^t (cos t - sin t), e^t (sin t + cos t), e^t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada alpha''(t) :
alpha''(t) = (ddt(e^t (cos t - sin t)), ddt(e^t (sin t + cos t)), ddt(e^t))
Calculando cada componente:
  • Para e^t (cos t - sin t) :
ddt(e^t (cos t - sin t)) = e^t (cos t - sin t) + e^t (-sin t - cos t) = e^t (-2 sin t)
  • Para e^t (sin t + cos t) :
ddt(e^t (sin t + cos t)) = e^t (sin t + cos t) + e^t (cos t - sin t) = e^t (2 cos t)
  • Para e^t :
ddt(e^t) = e^t
Então,
alpha''(t) = (-2 e^t sin t, 2 e^t cos t, e^t)

Passo 5

Agora que temos alpha'(t) e alpha''(t) , vamos calcular o produto vetorial alpha'(t) times alpha''(t) .
Vamos chamar:
alpha'(t) = (a, b, c) = (e^t (cos t - sin t), e^t (sin t + cos t), e^t)
alpha''(t) = (d, e, f) = (-2 e^t sin t, 2 e^t cos t, e^t)
O produto vetorial é dado por:
alpha' times alpha'' = ( b f - c e, c d - a f, a e - b d )
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
b f - c e = e^t (sin t + cos t) cdot e^t - e^t cdot 2 e^t cos t = e^2t (sin t + cos t) - 2 e^2t cos t = e^2t sin t - e^2t cos t
  • Segundo componente:
c d - a f = e^t cdot (-2 e^t sin t) - e^t (cos t - sin t) cdot e^t = -2 e^2t sin t - e^2t (cos t - sin t) = -2 e^2t sin t - e^2t cos t + e^2t sin t = - e^2t sin t - e^2t cos t
  • Terceiro componente:
a e - b d = e^t (cos t - sin t) cdot 2 e^t cos t - e^t (sin t + cos t) cdot (-2 e^t sin t) = 2 e^2t cos t (cos t - sin t) + 2 e^2t sin t (sin t + cos t)
Simplificando o terceiro componente:
2 e^2t (cos^2 t - cos t sin t + sin^2 t + cos t sin t) = 2 e^2t (cos^2 t + sin^2 t) = 2 e^2t
Então,
alpha' times alpha'' = (e^2t sin t - e^2t cos t, -e^2t sin t - e^2t cos t, 2 e^2t) = e^2t (sin t - cos t, -sin t - cos t, 2)

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial ||alpha' times alpha''|| :
||alpha' times alpha''|| = raiz(e^2t (sin t - cos t))^2 + (e^2t (-sin t - cos t))^2 + (2 e^2t)^2
Vamos simplificar cada termo:
  1. (e^2t (sin t - cos t))^2 = e^4t (sin t - cos t)^2 = e^4t (sin^2 t - 2 sin t cos t + cos^2 t)
  2. (e^2t (-sin t - cos t))^2 = e^4t (sin t + cos t)^2 = e^4t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t)
  3. (2 e^2t)^2 = 4 e^4t
Somando todos:
||alpha' times alpha''|| = raize^4t (sin^2 t - 2 sin t cos t + cos^2 t + sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t) + 4 e^4t
Simplificando dentro da raiz:
e^4t (2 sin^2 t + 2 cos^2 t) + 4 e^4t = e^4t cdot 2 (sin^2 t + cos^2 t) + 4 e^4t = 2 e^4t cdot 1 + 4 e^4t = 6 e^4t
Então,
||alpha' times alpha''|| = raiz6 e^4t = e^2t raiz6

Passo 7

Agora, vamos calcular ||alpha'(t)|| :
||alpha'(t)|| = raiz(e^t (cos t - sin t))^2 + (e^t (sin t + cos t))^2 + (e^t)^2
Simplificando cada termo:
  1. (e^t (cos t - sin t))^2 = e^2t (cos t - sin t)^2 = e^2t (cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t)
  2. (e^t (sin t + cos t))^2 = e^2t (sin t + cos t)^2 = e^2t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t)
  3. (e^t)^2 = e^2t
Somando todos:
||alpha'(t)|| = raize^2t (cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t + sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t) + e^2t = raize^2t (2 cos^2 t + 2 sin^2 t) + e^2t = raiz2 e^2t (cos^2 t + sin^2 t) + e^2t = raiz2 e^2t cdot 1 + e^2t = raiz3 e^2t = e^t raiz3

Passo 8

Agora, voltando à fórmula da curvatura:
kappa = ||alpha' times alpha''||||alpha'||^3 = e^2t raiz6(e^t raiz3)^3 = e^2t raiz6e^3t (3)^3/2 = e^2t raiz6e^3t cdot 3 raiz3 = raiz63 raiz3 e^t = raiz63 raiz3 e^-t
Simplificando:
kappa = raiz23 e^-t

Passo 9

Finalmente, o raio de curvatura R é o inverso da curvatura:
R = 1kappa = 3raiz2 e^t

Resposta

A curvatura da espiral é kappa = dfracraiz23 e^-t e o raio de curvatura é R = dfrac3raiz2 e^t .

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