Determine as equações dos planos normal, osculador e retificador da seguinte curva regular
em pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dos planos normal, osculador e retificador de uma curva regular definida por $$ \alpha(t) = \left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2} t\right) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores tangente, normal e binormal, além das fórmulas que relacionam esses vetores aos planos que queremos encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto da curva quando . Substituindo na expressão de :
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangente , normal e binormal da curva nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de :
Primeira derivada (vetor velocidade):
Segunda derivada (vetor aceleração):
Passo 4
A seguir, calculamos o vetor tangente no ponto . O vetor tangente é a normalização do vetor velocidade:
Primeiro, calculamos :
Agora, o módulo de :
Então,
Passo 5
Agora, encontramos o vetor normal . Ele é dado pela derivada do vetor tangente em relação a , normalizada:
Primeiro, calculamos . Para simplificar, usamos a fórmula: