Determine as equações dos planos normal, osculador e retificador da seguinte curva regular
alpha(t)=(e^t, e^-t, raiz2 t)
em t=0 (2,0 pontos )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dos planos normal, osculador e retificador de uma curva regular definida por $$ \alpha(t) = \left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2} t\right) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores tangente, normal e binormal, além das fórmulas que relacionam esses vetores aos planos que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto da curva quando t = 0 . Substituindo t = 0 na expressão de alpha(t) :
alpha(0) = (e^0, e^0, raiz2 times 0) = (1, 1, 0)
Então, o ponto de interesse é (1, 1, 0) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangente T , normal N e binormal B da curva nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de alpha(t) :
Primeira derivada (vetor velocidade):
alpha'(t) = (e^t, -e^-t, raiz2)
Segunda derivada (vetor aceleração):
alpha''(t) = (e^t, e^-t, 0)

Passo 4

A seguir, calculamos o vetor tangente T no ponto t = 0 . O vetor tangente é a normalização do vetor velocidade:
T(t) = alpha'(t)|alpha'(t)|
Primeiro, calculamos alpha'(0) :
alpha'(0) = (1, -1, raiz2)
Agora, o módulo de alpha'(0) :
|alpha'(0)| = raiz1^2 + (-1)^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 1 + 2 = raiz4 = 2
Então,
T(0) = 12 (1, -1, raiz2) = (12, -12, raiz22)

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal N . Ele é dado pela derivada do vetor tangente em relação a t , normalizada:
N(t) = T'(t)|T'(t)|
Primeiro, calculamos T'(t) . Para simplificar, usamos a fórmula:
T'(t) = alpha''(t) |alpha'(t)| - alpha'(t) ddt|alpha'(t)||alpha'(t)|^2
No ponto t = 0 :
alpha''(0) = (1, 1, 0)
Já sabemos que |alpha'(0)| = 2 e ddt|alpha'(t)| em t = 0 é:
ddt|alpha'(t)|g|t=0 = alpha'(0) cdot alpha''(0)|alpha'(0)| = (1)(1) + (-1)(1) + (raiz2)(0)2 = 02 = 0
Então,
T'(0) = (1, 1, 0) times 2 - (1, -1, raiz2) times 04 = (2, 2, 0)4 = (12, 12, 0)
Agora, normalizamos T'(0) :
|T'(0)| = raiz(12)^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz14 + 14 = raiz12 = raiz22
Então,
N(0) = (12, 12, 0)raiz22 = (raiz22, raiz22, 0)

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor binormal B usando o produto vetorial entre T e N :
B = T times N
Calculando:
B(0) = (12, -12, raiz22) times (raiz22, raiz22, 0)
Usando a regra do determinante:
B = i & j & k 12 & -12 & raiz22 raiz22 & raiz22 & 0
Calculando cada componente:
  • i : -12 times 0 - raiz22 times raiz22 = -0 - 24 = -12
  • j : -(12 times 0 - raiz22 times raiz22) = -(0 - 24) = 12
  • k : 12 times raiz22 - (-12) times raiz22 = raiz24 + raiz24 = raiz22
Então,
B(0) = (-12, 12, raiz22)

Passo 7

Agora que temos os vetores T , N e B , podemos determinar as equações dos planos.
Plano Normal: Este plano é determinado pelo vetor normal N e passa pelo ponto (1, 1, 0) .
A equação geral de um plano é:
N cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = (1, 1, 0) .
Então,
(raiz22, raiz22, 0) cdot (x - 1, y - 1, z - 0) = 0
Simplificando:
raiz22(x - 1) + raiz22(y - 1) + 0(z) = 0 raiz22(x + y - 2) = 0 x + y - 2 = 0
Plano Osculador: Este plano é determinado pelos vetores T e N , ou seja, é o plano tangente à curva. Assim, usa o vetor tangente como normal.
Usando T(0) = (12, -12, raiz22) :
(12, -12, raiz22) cdot (x - 1, y - 1, z) = 0
Simplificando:
12(x - 1) - 12(y - 1) + raiz22 z = 0 12x - 12 - 12y + 12 + raiz22 z = 0 12x - 12y + raiz22 z = 0 x - y + raiz2 z = 0
Plano Retificador: Este plano é determinado pelo vetor binormal B e passa pelo ponto (1, 1, 0) .
Usando B(0) = (-12, 12, raiz22) :
(-12, 12, raiz22) cdot (x - 1, y - 1, z) = 0
Simplificando:
-12(x - 1) + 12(y - 1) + raiz22 z = 0 -12x + 12 + 12y - 12 + raiz22 z = 0 -12x + 12y + raiz22 z = 0 -x + y + raiz2 z = 0

Resposta

As equações dos planos no ponto t = 0 são:
  • Plano Normal: x + y - 2 = 0
  • Plano Osculador: x - y + raiz2, z = 0
  • Plano Retificador: -x + y + raiz2, z = 0

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