Considere a curva definida pela equação
. Determine a inclinação da reta tangente a esta curva no ponto de coordenadas
.
Escolha uma opção:
a. 2
b. 0
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a. 2
b. 0
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
e queremos descobrir a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, que é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar a derivada quando a equação não está isolada em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da tangente à curva nesse ponto. No nosso caso, queremos
no ponto
.
Passo 3
Como a equação não está resolvida para
, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 4
Vamos derivar cada termo:
-
: Usamos a regra do quociente. A derivada fica . -
: Usamos a regra do produto. A derivada fica . -
: Usamos a regra da potência. A derivada fica . - O lado direito,
, a derivada é , já que é uma constante.
Passo 5
Juntando tudo, a derivada da equação fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto
na equação. Isso significa que
e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva no ponto
é
. Opção d.