Considere a curva definida pela equação xy+2 x y+3 y^2=3. Determine a inclinação da reta tangente a esta curva no ponto de coordenadas (0,1).
Escolha uma opção:
a. 2
b. 0
c. 23
d. -12
e. 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva definida pela equação xy + 2xy + 3y^2 = 3 e queremos descobrir a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto (0,1). Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, que é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar a derivada quando a equação não está isolada em y.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da tangente à curva nesse ponto. No nosso caso, queremos dydx no ponto (0,1).

Passo 3

Como a equação não está resolvida para y, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x.

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. xy: Usamos a regra do quociente. A derivada fica y cdot 1 - x cdot dydxy^2.
  2. 2xy: Usamos a regra do produto. A derivada fica 2y + 2x cdot dydx.
  3. 3y^2: Usamos a regra da potência. A derivada fica 6y cdot dydx.
  4. O lado direito, 3, a derivada é 0, já que é uma constante.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada da equação fica:
y - x cdot dydxy^2 + 2y + 2x cdot dydx + 6y cdot dydx = 0

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto (0,1) na equação. Isso significa que x = 0 e y = 1. Substituindo:
1 - 0 cdot dydx1^2 + 2 cdot 1 + 2 cdot 0 cdot dydx + 6 cdot 1 cdot dydx = 0
Simplificando:
1 + 2 + 0 + 6 cdot dydx = 0

Passo 7

Resolvendo para dydx:
3 + 6 cdot dydx = 0
6 cdot dydx = -3
dydx = -36 = -12

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto (0,1) é -12. Opção d. -12

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