Verifique se as funções abaixo são contínuas, caso contrário determine os pontos de descontinuidades.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a continuidade da função
f(x)= x^2-x-2x-2, &se xneq 2,[6pt] 3, &se x=2
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, usando limite e simplificação algébrica. Precisamos verificar se em x=2 a função “fecha” certinho (isto é, se limxto2f(x)=f(2)) e notar que para xneq2 uma razão de polinômios é contínua onde o denominador não zera.]
Passo 2
Para xneq2 fatoramos o numerador:
x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
Logo, quando xneq2,
f(x)=(x-2)(x+1)x-2=x+1
Passo 3
Calculamos o limite de f(x) quando xto2 usando a forma simplificada:
limxto2f(x) =limxto2(x+1) =2+1=3
Passo 4
O valor dado por definição é f(2)=3. Como
limxto2f(x)=3=f(2),
concluímos que não há descontinuidade em x=2.
Passo 5
Em qualquer ponto aneq2, f(x)=x+1 numa vizinhança de a, e soma e identidade são contínuas. Portanto f é contínua em todo aneq2 também.
Resposta
A função f é contínua para todo xinR. Não existem pontos de descontinuidade.