Verifique se as funções abaixo são contínuas, caso contrário determine os pontos de descontinuidades.
f(x)=11+e^1x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x)=11+e^1x
ou, em caso de descontinuidade, identificar os pontos onde ela ocorre. O conteúdo utilizado será: domínio de definição, continuidade de funções elementares (exponencial, soma, recíproca) e cálculo de limites laterais para analisar o comportamento em pontos críticos (aqui, possivelmente em x=0).

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de . A única operação problemática é o termo , que exige . Logo,
Em todo ponto de , , a função é composição de exponencial, soma e recíproca, todas contínuas em seus respectivos domínios, portanto é contínua para todo .

Passo 3

Para investigar x=0, olhamos os limites laterais:
  • Quando xto0^+, temos tfrac1xto+infty e, portanto,
e^1x;to;+infty Longrightarrow f(x)=11+e^1x;to;1+infty=0
  • Quando xto0^-, temos tfrac1xto-infty e, portanto,
e^1x;to;0 Longrightarrow f(x)=11+e^1x;to;11+0=1

Passo 4

Como
limxto0^+f(x)=0 e limxto0^-f(x)=1
são diferentes, não existe limite de f(x) em x=0. Além disso, f não está definida em x=0. Logo, há descontinuidade em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo xneq0 e apresenta uma descontinuidade do tipo salto (essencial) em x=0.

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