A inclinação da curva dada pela equação y^3+y^2-11 y-x^2=-4 x no ponto (0,2) é:
Escolha uma opção:
  • a. 45
    -b. 0
    c. 25
    d. -25
    e. -45

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo que pede para encontrar a inclinação da curva dada pela equação y^3 + y^2 -11 y -x^2 = -4 x no ponto (0,2) . Vamos usar o conceito de derivada implícita, que é útil quando a equação que descreve a curva não está isolada para y em termos de x .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos juntar todos os termos do lado esquerdo:
y^3 + y^2 -11 y +4x = x^2

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então usamos a regra da cadeia ao diferenciar termos que envolvem y :
  • A derivada de y^3 é 3y^2 cdot dydx
  • A derivada de y^2 é 2y cdot dydx
  • A derivada de -11y é -11 cdot dydx
  • A derivada de 4x é 4
  • A derivada de x^2 é 2x
Então, diferenciando ambos os lados:
3y^2 cdot dydx + 2y cdot dydx -11 cdot dydx +4 = 2x

Passo 4

Vamos agora isolar dydx (a derivada que representa a inclinação):
(3y^2 + 2y -11) cdot dydx = 2x -4
Para encontrar dydx , dividimos ambos os lados pelo coeficiente de dydx :
dydx = 2x -43y^2 + 2y -11

Passo 5

Finalmente, substituímos as coordenadas do ponto (0,2) na expressão da derivada para encontrar a inclinação naquele ponto:
  • Substituindo x = 0 e y = 2 :
dydx = 2(0) -43(2)^2 + 2(2) -11 = -412 +4 -11 = -45

Resposta

A inclinação da curva no ponto (0,2) é -45 .
opção e. -45

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