Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Use essa reta para obter uma aproximação linear de
.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
no ponto
e, em seguida, usar essa reta para aproximar
. Vamos precisar de (i)
, (ii)
por regra da cadeia e (iii) a fórmula da reta tangente
Passo 2
Calcular
. Como
temos
.
Passo 3
Determinar a derivada
. Escrevendo
, pela regra da cadeia,
Logo,
Passo 4
Montar a reta tangente em
. Usando
substituindo
e
, vem
Desenvolvendo,
Passo 5
Aproximação linear de
pela reta tangente, ou seja,
. Então
Resposta
A equação da reta tangente é
e a aproximação linear dá