Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\sqrt{x^{2}+9} no ponto x=4. Use essa reta para obter uma aproximação linear de f(4.1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt{x^2+9} no ponto x=4 e, em seguida, usar essa reta para aproximar f(4.1). Vamos precisar de (i) f(4), (ii) f'(x) por regra da cadeia e (iii) a fórmula da reta tangente
y - f(x_0)=f'(x_0)\,(x - x_0)\,.

Passo 2

Calcular f(4). Como
f(4)=\sqrt{4^2+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,
temos f(4)=5.

Passo 3

Determinar a derivada f'(x). Escrevendo f(x)=(x^2+9)^{1/2}, pela regra da cadeia,
f'(x)=\tfrac12(x^2+9)^{-1/2}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}.
Logo,
f'(4)=\frac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Montar a reta tangente em x_0=4. Usando
y - f(4)=f'(4)\,(x-4)
substituindo f(4)=5 e f'(4)=4/5, vem
y-5=\frac{4}{5}(x-4).
Desenvolvendo,
y=\frac{4}{5}x-\frac{16}{5}+5 =\frac{4}{5}x+\frac{9}{5}.

Passo 5

Aproximação linear de f(4.1) pela reta tangente, ou seja, L(x)=\tfrac{4}{5}x+\tfrac{9}{5}. Então
f(4.1)\approx L(4.1) =\frac{4}{5}\cdot4.1+\frac{9}{5} =\frac{16.4+9}{5} =\frac{25.4}{5} =5.08.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=\frac{4}{5}x+\frac{9}{5},
e a aproximação linear dá
f(4.1)\approx5.08.

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