Considere a curva definida por 5 x^2+y^2 x^2+6 x y=0.
a) Verifique se essa equação define y como função de x numa vizinhança de (1,-1).
b) Em caso afirmativo, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida pela equação
F(x,y)=5x^2+x^2y^2+6xy=0
O conteúdo aqui é o Teorema da Função Implícita: para saber se dá para resolver y em função de x perto de (1,-1), a gente calcula partial F/partial y e verifica se é não nula nesse ponto. Se for, existe uma função y(x). Depois, para a reta tangente, usamos a fórmula
dydx = -FxFy

Passo 2

Calculamos
partial Fpartial y = 2x^2y + 6x
e avaliamos em (1,-1):
partial Fpartial y(1,-1) = 2cdot1^2cdot(-1) + 6cdot1 = -2 + 6 = 4 neq 0
Como partial F/partial y(1,-1)neq0, pelo Teorema da Função Implícita existe y(x) numa vizinhança de (1,-1).

Passo 3

Para a reta tangente, primeiro achamos
partial Fpartial x = 10x + 2x y^2 + 6y
Em (1,-1) isso dá
partial Fpartial x(1,-1) = 10 + 2cdot1cdot(-1)^2 + 6cdot(-1) = 10 + 2 - 6 = 6
Logo
y'(1) = -FxFy|(1,-1) = -64 = -32
A equação da reta tangente no ponto (1,-1) é
y + 1 = -32,(x - 1)

Resposta

(a) Sim, pois partial Fpartial y(1,-1)=4neq 0.\n(b) y + 1 = -32(x - 1).

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