Considere a curva definida por .
a) Verifique se essa equação define como função de numa vizinhança de .
b) Em caso afirmativo, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida pela equação
O conteúdo aqui é o Teorema da Função Implícita: para saber se dá para resolver em função de perto de , a gente calcula e verifica se é não nula nesse ponto. Se for, existe uma função . Depois, para a reta tangente, usamos a fórmula
Passo 2
Calculamos
e avaliamos em :
Como , pelo Teorema da Função Implícita existe numa vizinhança de .
Passo 3
Para a reta tangente, primeiro achamos
Em isso dá
Logo
A equação da reta tangente no ponto (1,-1) é
y + 1 = -32,(x - 1)
Resposta
(a) Sim, pois partial Fpartial y(1,-1)=4neq 0.\n(b) y + 1 = -32(x - 1).