Resolva e justifique os seguintes itens
Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em "
" e depois em "
" para calcular a integral
Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em "
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla abaixo:
[\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx , dy]
O conteúdo da matéria é cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender o domínio de integração no plano, usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e depois aplicar uma substituição simples para calcular a integral resultante.
[\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx , dy]
O conteúdo da matéria é cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender o domínio de integração no plano, usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e depois aplicar uma substituição simples para calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever o domínio D do enunciado, que está dado por
[ D = {(x,y) \mid 0 \le y \le 1, \ \sqrt{y} \le x \le 1} ].
Isso significa que, para cada y entre 0 e 1, x varia de até
. Se a gente olhar no plano xy, isso equivale à região abaixo da curva
entre x = 0 e x = 1.
[ D = {(x,y) \mid 0 \le y \le 1, \ \sqrt{y} \le x \le 1} ].
Isso significa que, para cada y entre 0 e 1, x varia de
Passo 3
Para inverter a ordem, notamos que x vai de 0 até 1 e, para cada x nesse intervalo, y vai de 0 até x². Assim a integral fica:
[ \int_{0}^{1} \int_{0}{x{2}} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dy , dx ].
[ \int_{0}^{1} \int_{0}{x{2}} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dy , dx ].
Passo 4
Agora, vamos integrar primeiro em y. Como
não depende de y, ela é constante nessa integral interna. Logo:
[ \int_{0}{x{2}} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dy = \sin\bigl(x^{3}\bigr) \cdot \Bigl[y\Bigr]_{0}{x{2}} = x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr). ]
[ \int_{0}{x{2}} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dy = \sin\bigl(x^{3}\bigr) \cdot \Bigl[y\Bigr]_{0}{x{2}} = x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr). ]
Passo 5
A integral dupla passa a ser uma única integral em x:
[ \int_{0}^{1} x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx ].
Para resolver isso, usamos a substituição , de onde
e portanto
. Quando
,
; quando
,
.
[ \int_{0}^{1} x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx ].
Para resolver isso, usamos a substituição
Passo 6
Substituindo em bloco, temos:
[ \int_{0}^{1} x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx = \int_{0}^{1} \sin(u) \cdot \frac{1}{3} , du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) , du. ]
A primitiva de é
, então:
[ \int_{0}^{1} x^{2} \sin\bigl(x^{3}\bigr) , dx = \int_{0}^{1} \sin(u) \cdot \frac{1}{3} , du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) , du. ]
A primitiva de
Passo 7
Calculando a integral em u:
[ \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) , du = \frac{1}{3} \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(-\cos(1)+\cos(0)\bigr) = \frac{1-\cos(1)}{3}. ]
[ \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) , du = \frac{1}{3} \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(-\cos(1)+\cos(0)\bigr) = \frac{1-\cos(1)}{3}. ]