Determine o centro e o raio da esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+5=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de uma esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6y+5=0
e pede o centro (h,k,l) e o raio r. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e completamos o quadrado:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4.

Passo 3

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
y^{2}+6y = (y+3)^{2} - 9.

Passo 4

O termo em z já é um quadrado perfeito e não há termo linear em z:
z^{2} = (z-0)^{2} - 0.
Agora somamos as constantes que surgiram:
-4 \;+\;(-9)\;+\;5 \;=\;-8.

Passo 5

Substituindo tudo na equação original, obtemos
(x-2)^{2} -4 \;+\;(y+3)^{2} -9 \;+\;(z-0)^{2} \;+\;5 = 0
\Longrightarrow (x-2)^{2} + (y+3)^{2} + (z-0)^{2} = 8.
Isso mostra que o centro é (2,-3,0) e que
r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Resposta

O centro é (2,-3,0) e o raio é 2\sqrt{2}.

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