Esboce a superfície de equação:
3 x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede esboçar a superfície dada por
3x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y + 5 = 0.
Este é um caso de superfície quádrupla (quadric surface) e vamos usar o método de completar quadrados para classificá-la.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z:
3x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 + 5 = 0.
Para o termo em x fazemos
3x^2 - 4x =3\Bigl(x^2 - \tfrac{4}{3}x\Bigr) =3\Bigl[(x - \tfrac{2}{3})^2 - \tfrac{4}{9}\Bigr] =3(x - \tfrac{2}{3})^2 - \tfrac{4}{3},
e para o termo em y:
y^2 + 6y =(y + 3)^2 - 9.

Passo 3

Substituindo na equação original:
3(x - \tfrac{2}{3})^2 - \tfrac{4}{3} + (y + 3)^2 - 9 + z^2 + 5 =0.
Somando as constantes:
-\tfrac{4}{3} - 9 + 5 = -\tfrac{4}{3} - \tfrac{12}{3} = -\tfrac{16}{3},
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3(x - \tfrac{2}{3})^2 + (y + 3)^2 + z^2 = \tfrac{16}{3}.

Passo 4

Para obter a forma padrão de um elipsoide, dividimos tudo por \tfrac{16}{3}:
\frac{(x - \tfrac{2}{3})^2}{\tfrac{16}{9}} + \frac{(y + 3)^2}{\tfrac{16}{3}} + \frac{z^2}{\tfrac{16}{3}} =1.
Isto revela um elipsoide centrado em \bigl(\tfrac{2}{3},-3,0\bigr) cujos semi-eixos são
a = \tfrac{4}{3}, \quad b = \frac{4}{\sqrt{3}}, \quad c = \frac{4}{\sqrt{3}},
ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Para esboçar, marcamos o centro em \bigl(\tfrac{2}{3},-3,0\bigr) e desenhamos um elipsoide cujos comprimentos dos eixos principais são
2a = \tfrac{8}{3}, \quad 2b = 2c = \tfrac{8}{\sqrt{3}},
com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado em \bigl(\tfrac{2}{3},-3,0\bigr) com semi-eixos
a = \tfrac{4}{3}, \quad b = \frac{4}{\sqrt{3}}, \quad c = \frac{4}{\sqrt{3}},
orientado segundo os eixos x, y e z.

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