(Questão 3 da P1 de 2012-1) A posição de um objeto em cada instante t \geq 0 é dada por \alpha(t)=(x(t), y(t)), sendo que sua velocidade vetorial satisfaz
\alpha^{\prime}(t)=\left(\frac{6 t-3 t x}{t^{2}+1}, 2 t \sqrt{y-1}\right), t \geq 0
Supondo que \alpha(0)=(3,1), qual é a posição do objeto no instante t=1 ?

Passo 1

O enunciado nos dá \alpha(t)=(x(t),y(t)) com
\alpha'(t)=\Bigl(\frac{6t-3t\,x}{t^2+1},\,2t\sqrt{y-1}\Bigr)
e condição inicial \alpha(0)=(3,1). Pede-se \alpha(1). Vamos resolver o sistema de EDOs: a componente x via método do fator integrante e a componente y por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a EDO de x em forma linear:
x'(t)+\frac{3t}{t^2+1}\,x(t)=\frac{6t}{t^2+1}.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{3t}{t^2+1}dt\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac32\ln(t^2+1)\Bigr) =(t^2+1)^{3/2}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl((t^2+1)^{3/2}x(t)\bigr) =6t\,(t^2+1)^{1/2}.

Passo 3

Integramos em t:
(t^2+1)^{3/2}x(t) =\int6t\sqrt{t^2+1}\,dt =2\,(t^2+1)^{3/2}+C.
Logo
x(t)=2+\frac{C}{(t^2+1)^{3/2}}.
Como x(0)=3, temos 3=2+C, ou seja C=1. Assim
x(t)=2+\frac{1}{(t^2+1)^{3/2}}.

Passo 4

Agora resolvemos a EDO de y:
y'(t)=2t\sqrt{y-1}.
Defina v=y-1, então v'(t)=2t\sqrt{v}. Essa EDO é separável:
\frac{dv}{\sqrt{v}}=2t\,dt.
Integrando,
2\sqrt{v}=t^2+C'.
Como y(0)=1 implica v(0)=0, segue C'=0. Logo
\sqrt{v}=\frac{t^2}{2}, \quad v=\frac{t^4}{4},
e
y(t)=1+\frac{t^4}{4}.

Passo 5

No instante t=1,
x(1)=2+\frac{1}{2^{3/2}}=2+\frac{1}{2\sqrt2}, \quad y(1)=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \alpha(1)=\Bigl(2+\frac{1}{2\sqrt2},\,\frac{5}{4}\Bigr)

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