Exercício 1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
O conteúdo que vamos usar é derivada parcial e, em particular, a regra do quociente. Para isso, definimos
u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=x^2+y^2

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de u e v em relação a x:
ux = 2x, vx = 2x
Aplicando a regra do quociente para partial fpartial x, temos
partial fpartial x = ux,v - u,vxv^2

Passo 3

Substituindo ux, v e vx na expressão de partialx f:
partial fpartial x = 2x,(x^2+y^2);-;(x^2-y^2),2x(x^2+y^2)^2 = 2xl(x^2+y^2 - x^2 + y^2r)(x^2+y^2)^2 = 4x,y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a y:
uy = -2y, vy = 2y
De novo pela regra do quociente para partial fpartial y:
partial fpartial y = uy,v - u,vyv^2

Passo 5

Substituindo uy, v e vy na expressão de partialy f:
partial fpartial y = -2y,(x^2+y^2);-;(x^2-y^2),2y(x^2+y^2)^2 = -2yl(x^2+y^2 + x^2 - y^2r)(x^2+y^2)^2 = -4x^2,y(x^2+y^2)^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) = 4x,y^2(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) = -4x^2,y(x^2+y^2)^2

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