Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em
definida por
O conteúdo envolvido é o de superfícies quadráticas, e mais especificamente veremos que se trata de um paraboloide hiperbólico (forma de sela). Para isso, primeiro vamos isolar
.
Passo 2
Isolando
, obtemos
Isso mostra que, ao longo da direção
, a curvatura é côncava para cima (termo
), e ao longo da direção
, a curvatura é côncava para baixo (termo
).
Passo 3
Analisemos agora algumas seções planas para entender melhor a forma:
Para (plano horizontal), temos
Para
que são hipérboles sempre que
, degenerando em duas retas cruzadas se
. Isso indica que as curvas de nível são hipérboles deslocadas ao longo do eixo
.
Passo 4
As seções pelos planos coordenados são parábolas:
Passo 5
Juntando essas informações, vemos que a superfície tem um ponto de sela em
, abre em forma de “selim”:
- ao longo de
, curva pra cima; - ao longo de
, curva pra baixo; - as curvas de nível em planos
são hipérboles.
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico (forma de sela) descrito por
com ponto de sela em
, seção parabólica em
e
, e curvas de nível hiperbólicas.