Considere a curva gamma(t)=(2 t^3, 2 t, raiz6 t^2), t in[0,3].
Mostre que gamma é uma curva regular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva gamma(t)=(2t^3,2t,raiz6,t^2), tin[0,3], é regular. Isso significa ver que sua derivada gamma'(t) nunca é o vetor nulo. Vamos precisar usar derivadas de funções polinomiais e o conceito de norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente. Como gamma(t)=(2t^3,2t,raiz6,t^2), temos:
gamma'(t)=l(tfracddt(2t^3),tfracddt(2t),tfracddt(raiz6,t^2)r)=(6t^2,2,2raiz6,t)

Passo 3

Agora vamos calcular a norma de gamma'(t). A norma de um vetor (x,y,z) é raizx^2+y^2+z^2, então
|gamma'(t)|=raiz(6t^2)^2+2^2+(2raiz6,t)^2 =raiz36t^4+4+24t^2 =raiz36t^4+24t^2+4

Passo 4

Observe que
36t^4+24t^2+4=(6t^2+2)^2,
então
|gamma'(t)|=|6t^2+2|
Como tin[0,3], temos 6t^2+2>0 para todo t nesse intervalo, ou seja,
|gamma'(t)|=6t^2+2>0
Portanto gamma'(t) nunca é o vetor nulo.
Como a derivada gamma'(t) é diferente de zero para todo tin[0,3], concluímos que gamma é uma curva regular.

Resposta

A curva é regular porque |gamma'(t)|=6t^2+2>0 para todo tin[0,3], logo gamma'(t)neq0 em todo o intervalo.

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