Identifique e parametrize a imagem das curvas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa identificar e parametrizar a imagem da curva definida pela equação
com a condição
. Vamos trabalhar com a matéria de Geometria Analítica, especificamente com equações de curvas cônicas, e vamos precisar entender como parametrizar uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que tipo de curva estamos lidando. A equação
pode ser reescrita como
dividindo todos os termos por 225. Isso é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, onde a hipérbole está aberta para os lados esquerdo e direito.
Passo 3
Sabendo que é uma hipérbole, vamos lembrar como parametrizar essa curva. A parametrização padrão para uma hipérbole horizontal
é:
Onde
e
são constantes que determinam a abertura da hipérbole, e
é o parâmetro.
Passo 4
No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos
e
. Então,
e
. Substituindo esses valores na parametrização padrão, ficamos com:
Passo 5
Agora, precisamos considerar a condição
. Como
, isso significa que estamos considerando apenas a parte direita da hipérbole (onde
é maior ou igual a 3). Na parametrização, isso corresponde aos valores de
que garantem
. Como
para todo
, multiplicando por 3, temos
automaticamente. Portanto, não precisamos restringir o valor de
.
Passo 6
Então, resumindo, a parametrização da imagem da curva
com
é dada por:
Onde
é um número real.
Resposta
A parametrização da curva é: