Identifique e parametrize a imagem das curvas abaixo.
25 x^2-9 y^2-225=0, x >= 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa identificar e parametrizar a imagem da curva definida pela equação 25x^2 - 9y^2 - 225 = 0 com a condição x >= 3. Vamos trabalhar com a matéria de Geometria Analítica, especificamente com equações de curvas cônicas, e vamos precisar entender como parametrizar uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que tipo de curva estamos lidando. A equação 25x^2 - 9y^2 - 225 = 0 pode ser reescrita como x^29 - y^225 = 1 dividindo todos os termos por 225. Isso é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, onde a hipérbole está aberta para os lados esquerdo e direito.

Passo 3

Sabendo que é uma hipérbole, vamos lembrar como parametrizar essa curva. A parametrização padrão para uma hipérbole horizontal x^2a^2 - y^2b^2 = 1 é:
x = a cosh(t)
y = b sinh(t)
Onde a e b são constantes que determinam a abertura da hipérbole, e t é o parâmetro.

Passo 4

No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos a^2 = 9 e b^2 = 25. Então, a = 3 e b = 5. Substituindo esses valores na parametrização padrão, ficamos com:
x = 3 cosh(t)
y = 5 sinh(t)

Passo 5

Agora, precisamos considerar a condição x >= 3. Como a = 3, isso significa que estamos considerando apenas a parte direita da hipérbole (onde x é maior ou igual a 3). Na parametrização, isso corresponde aos valores de t que garantem x >= 3. Como cosh(t) >= 1 para todo t, multiplicando por 3, temos x >= 3 automaticamente. Portanto, não precisamos restringir o valor de t.

Passo 6

Então, resumindo, a parametrização da imagem da curva 25x^2 - 9y^2 - 225 = 0 com x >= 3 é dada por:
x(t) = 3 cosh(t)
y(t) = 5 sinh(t)
Onde t é um número real.

Resposta

A parametrização da curva é:
x(t) = 3 cosh(t)
y(t) = 5 sinh(t)

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