Utilize a fórmula tau(t)=lang<=r(t)^prime times r(t)^prime prime, r(t)^prime prime primerang<=|r(t)^prime times r(t)^prime prime|^2 para provar que a cúbica retorcida r(t)=(2 t, t^2, t^33) tem torção tau(t)=2(t^2+2)^2 para todo t in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a cúbica retorcida
r(t)=l(2t,;t^2,;t^3/3r)
tem torção
tau(t)=2l(t^2+2r)^2
usando a fórmula
tau(t) = llang<= r'(t)times r''(t),,r'''(t)rrang<= l|r'(t)times r''(t)r|^2
Para resolver, precisamos calcular r', r'', r''', depois o produto vetorial r'timesr'', seu módulo ao quadrado, e o produto escalar com r'''.

Passo 2

Calcular as derivadas de r(t):
r'(t) = l(2,;2t,;t^2r), r''(t) = l(0,;2,;2tr), r'''(t) = l(0,;0,;2r)

Passo 3

Calcular o produto vetorial r'(t)times r''(t). Usando a definição em coordenadas:
r'times r'' = i & j & k 2 & 2t & t^2 0 & 2 & 2t = l(2t^2,,-4t,;4r)

Passo 4

Calcular o quadrado da norma de r'timesr'':
l|r'times r''r|^2 = (2t^2)^2+(-4t)^2+4^2 = 4t^4+16t^2+16 = 4l(t^2+2r)^2

Passo 5

Calcular o produto escalar entre r'timesr'' e r''':
llang<= r'times r'',,r'''rrang<= = (2t^2,,-4t,,4)cdot(0,0,2) = 4cdot 2 = 8

Passo 6

Substituir na fórmula da torção:
tau(t) = 8l|r'times r''r|^2 = 84l(t^2+2r)^2 = 2l(t^2+2r)^2

Resposta

tau(t)=2l(t^2+2r)^2

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