Resolva os seguintes itens:
A região entre y=cos x e o eixo x para x in[0, pi / 2] é dividida em duas sub-regiões de áreas iguais por uma linha x=c. Encontre c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a curva definida por y = cos x e queremos encontrar um valor c no intervalo [0, pi2] que divide a área entre essa curva e o eixo x em duas partes de áreas iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Vamos calcular a área total sob a curva y = cos x entre x = 0 e x = pi2. A área total, Atotal, é dada pela integral definida:
Atotal = integral0^pi2 cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:
Atotal = integral0^pi2 cos x , dx = sin x |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Então, a área total é igual a 1.

Passo 4

Queremos dividir essa área total em duas partes iguais. Ou seja, cada sub-região deve ter uma área de:
Aparte = Atotal2 = 12

Passo 5

Vamos encontrar o valor de c tal que a área entre x = 0 e x = c seja igual a 12. Isso é representado pela integral:
integral0^c cos x , dx = 12

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral0^c cos x , dx = sin x |0^c = sin c - sin 0 = sin c
Portanto, temos:
sin c = 12

Passo 7

Para encontrar c, resolvemos a equação:
sin c = 12
Sabemos que sin(pi6) = 12 e, como estamos no intervalo [0, pi2], a solução é:
c = pi6

Resposta

O valor de c que divide a região em duas sub-regiões de áreas iguais é c = pi6.

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